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22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 1 Lois de probabilités usuelles discrètes

22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 1 Lois de probabilités usuelles discrètes et continues Chapitre 3 1 Lois de probabilités discrètes 2 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 2 Loi de Dirac: • Soit un nombre a fixé et soit une v.a. X prenant la valeur a, c’est-à-dire P(X=a)=1. On appelle loi de Dirac au point a la probabilité La représentation de l’histogramme et de la fonction de répartition sont: 3 Loi de Dirac: 4 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 3 Loi de Dirac: • Sa fonction de répartition: • Son espérance mathématique est E(X)=a et E(X2)=a2 • Sa variance est Var(X)=0 5 Prof. Mohamed El Merouani Loi de Bernoulli: • Une v. a. X suit une loi de Bernoulli si elle prend les deux valeurs 1 et 0 avec P(X=1)=p et P(X=0)=q où p+q=1. • p s’appelle paramètre de la loi. • {X=1} est dit événement succès et {X=0} est dit événement échec. • X représente donc le nombre de succès obtenu après la réalisation d’une seule expérience aléatoire. 6 Prof. Mohamed El Merouani 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 4 Loi de Bernoulli: • La loi de probabilité de X suivant une loi de Bernoulli est: Alors E(X)=Σxipi=1xp+0xq=p Var(X)=Σxi 2pi–E(X)2=x1 2p+x0 2q-p2=p-p2 Var(X)=p(1-p)=pq xi 1 0 Σpi pi p q=1-p 1 7 Prof. Mohamed El Merouani Loi Binômiale: • On considère l’expérience qui consiste en n répétitions indépendantes d’une même expérience dont l’issue est l’apparition ou la non apparition d’un événement A qui: – Soit se réalise avec la probabilité p (p=probabilité du succès). – Soit ne se réalise pas avec la probabilité q=1-p (q=probabilité d’échec). • Soit X le nombre d’apparitions de cet événement parmi ces n expériences. • On a Ω={A,Ā}n et 0≤X≤n. 8 Prof. Mohamed El Merouani 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 5 Loi Binômiale: • On cherche P(X=k). Le résultat de ces n expériences est une suite (A1, A2,…, An) où Ai=A ou Ā, pour tout i=1,2,…,n. • Si on suppose que A est apparu k fois et Ā (n-k) fois, la probabilité d’une de ces suites (A1, A2,…, An) est pk(1-p)n-k. Comme il existe suites (A1, A2,…, An) où A est apparu k fois et Ā (n-k) fois, on déduit que: 9 Loi Binômiale: • On vérifie que • En effet, • On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n et p et on la note symboliquement B(n, p). • On écrit X~ B(n,p) 10 Prof. Mohamed El Merouani 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 6 Loi Binômiale: • Espérance mathématique: E(X)=np • Variance mathématique: Var(X)=npq • Ecart-type: σ(X)=√npq • La loi binômiale rend compte de tous les phénomènes répétés de manière indépendante pouvant prendre deux états, tels que: succès ou échec, tout ou rien. 11 Prof. Mohamed El Merouani Loi multinomiale: • Supposons que dans une expérience aléatoire peuvent se présenter les événements A1,A2,…,Ak qui forment un système des événements exhaustifs et mutuellement exclusifs (complet), • P(Ai)=pi et p1+p2+…+pk=1 et calculons la probabilité qu’en faisant n expériences indépendantes on ait x1 fois l’evénement A1, x2 fois A2,…etc, où x1+x2+…+xk=n. 12 Prof. Mohamed El Merouani 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 7 Loi multinomiale: • Cette probabilité est donnée par: et zéro, autrement. Avec Xi=xi signifie que l’événement Ai s’est réalisé xi fois. • Alors, on dit que la variable (X1,…,Xk) suit une loi multinomiale de paramètres n, p1, p2,…,pk • Si k=2, on retrouve la loi binomiale. 13 Prof. Mohamed El Merouani Prof. Mohamed El Merouani 14 En effet, 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 8 Loi multinomiale: • Les principaux moments de cette loi sont: E(Xi)=npi Var(Xi)=npi(1-pi) Cov(Xi,Xj)=-npipj 15 Prof. Mohamed El Merouani Cas particulier: • Considérons la loi trinômiale: où et pj≥0 avec p1+p2+p3=1. • La loi marginale de X est B(n,p1). • La loi marginale de Y est B(n,p2). 16 Prof. Mohamed El Merouani 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 9 Cas particulier: 17 Prof. Mohamed El Merouani Exemple: • Une urne contient 9 boules (dont 2 sont rouges, 3 blanches et 4 noires). • On tire au hasard, avec remise, 3 boules de cette urne. • En désignant par X, Y et Z le nombre de boules rouges, blanches et noires tirées, on détermine la loi P(X=i, Y=j, Z=k) avec i+j+k=3. Prof. Mohamed El Merouani 18 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 10 Exemple: • La distribution relative à ces 3 variables est en fait une distribution à 2 dimensions puisque la valeur de la 3ème variable est déterminée par celles de deux premières: Z=3-X-Y. • On a: • Les probabilités P(X=i, Y=j, Z=k) sont calculées à l’aide de 19 Exemple: • On obtient alors: P(0,0,3)=0,0878 P(0,1,2)=0,1975 P(0,2,1)=0,1481 P(0,3,0)=0,0371 P(1,0,2)=0,1317 P(1,1,1)=0,1975 P(1,2,0)=0,0741 P(2,0,1)=0,0658 P(2,1,0)=0,0494 Prof. Mohamed El Merouani 20 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 11 Loi hypergéométrique: • On considère une urne contenant N boules dont a sont blanches et b=N–a sont rouges. On tire de cette urne n boules. (On peut tirer les n boules en même temps ou l’une après l’autre sans remise). • Soit X la v.a. égale au nombre de boules blanches tirées parmi les n boules. Cette v.a. suit une loi dite hypergéométrique et est notée H(n,a,b). 21 Prof. Mohamed El Merouani Loi hypergéométrique: • Comme 0≤X≤a et 0≤n–X≤b, on a: max{0,n–b}≤X≤min{a,n} • Soit un nombre entier k tel que: max{0,n–b}≤k≤min{a,n} • On cherche P(X=k). L’ensemble fondamental Ω est constitué de tous les sous-ensembles de n boules que l’on peut tirer de l’urne Ω=Pn(E). C’est l’ensemble de parties à n éléments de l’ensemble E des boules. On a 22 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 12 Loi hypergéométrique: • Le nombre de façons de tirer k boules parmi les a blanches est et pour chacune de ces façons il y a manières de tirer n–k boules parmi les boules rouges. Donc: • Comme on a bien 23 Prof. Mohamed El Merouani Loi hypergéométrique: • Espérance mathématique de X~H(n,a,b) • Sa variance est: • Fonction génératrice des moments? 24 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 13 Loi de Poisson: • On dit qu’une v. a. obéit à une loi de Poisson, si elle est susceptible de prendre toutes les valeurs entières 0,1,2,…,k,…,n,… les probabilités associées étant p0 ,p1 ,p2 ,…,pk ,…,pn ,… avec • λ étant un paramètre positif, et e la base des logarithmes népériens. • La constante λ s’appelle le paramètre de la loi. • La loi de Poisson est notée P (λ). 25 Prof. Mohamed El Merouani Loi de Poisson: • Espérance mathématique: E(X)=λ • Variance mathématique: Var(X)=λ • Ecart-type: σ(X)= • La loi de Poisson est appelée loi des petites probabilités. On l’utilise pour représenter des phénomènes rares, tels que: nombre d’accidents, nombre de pannes, nombre de déchets dans une fabrication… 26 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 14 Loi géométrique: • On considère une expérience à deux issues possibles (réalisation de l’événement A ou de l’événement Ā). On répète indéfiniment cette expérience jusqu’à ce que A se réalise. Soit X la v.a. égale au nombre de répétitions nécessaires pour la réalisation de A. • On a: X(Ω)={1,2,…,n,…} et P(X=k)=p(1-p)k-1 où p est la probabilité de réalisation de l’événement A. 27 Prof. Mohamed El Merouani Loi géométrique: • On vérifie que c’est bien une loi de probabilité. • En effet, • Son espérance mathématique est: • Sa variance est: 28 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 15 Remarque: • Si pour la loi géométrique on prend X(Ω)={0, 1,2,…,n,…} et P(X=k)=p(1-p)k Alors l’espérance mathématique sera Prof. Mohamed El Merouani 29 Loi binomiale négative: • Une proportion p d’éléments d’une population possède un certain caractère A. On veut obtenir n éléments de ce type en procédant à une suite de tirage indépendants. Ces tirages s’effectuent avec remise. On désigne par Y le nombre de tirages nécessaires pour obtenir ces n éléments possédant le caractère A. La v.a. X=Y–n est appelée binomiale négative. 30 Prof. Mohamed El Merouani 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 16 Loi binomiale négative: • On a X(Ω)=IN. On cherche P(X=i). • Comme n tirages (dont le dernier) ont donné un élément possédant le caractère A et i tirages ont donné un élément ne possédant pas le caractère A, la probabilité d’un tel événement est pn(1–p)i. Le nombre de ces événements est . On en déduit: 31 Loi binomiale négative: • On peut vérifier que: • Son espérance mathématique est: • Sa variance est: 32 Prof. Mohamed El Merouani 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 17 Loi uniforme discrète: • Une v.a. X discrète suit une loi uniforme en n points x1, x2,…, xn si sa distribution de probabilité est: • Si n=1, alors on retrouve la loi de Dirac dégénérée en un point a. • Exemples: pièce de monnaie(n=2), le dé (n=6). Prof. Mohamed El Merouani 33 Fonctions génératrices des moments de quelques lois discrètes usuelles Prof. Mohamed El Merouani 34 22/03/2020 Prof. Mohamed El Merouani 18 Loi binomiale: • La fonction génératrice des moments d’une loi binomiale B(n,p) de paramètres n et p est: • Dém: T.D. série n°2, Ex. 10 Prof. Mohamed El Merouani 35 Loi de Poisson: • La fonction génératrice des moments d’une loi de uploads/Geographie/ lois-usuelles.pdf