Concours National Commun – Session 2018 – MP L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve, p

Concours National Commun – Session 2018 – MP L’´ enonc´ e de cette ´ epreuve, particuli` ere aux candidats de la fili` ere MP, comporte 4 pages. L’usage de la calculatrice est interdit . Les candidats sont inform´ es que la pr´ ecision des raisonnements ainsi que le soin apport´ e ` a la r´ edaction et ` a la pr´ esentation des copies seront des ´ el´ ements pris en compte dans la notation. Il convient en particulier de rappeler avec pr´ ecision les r´ ef´ erences des questions abord´ ees. Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui peut lui sembler ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ e ` a prendre. ` A propos des z´ eros des fonctions de Bessel d’indice entier D´ efinitions et notations Si I est un intervalle non trivial de R et ϕ, ψ deux fonctions r´ eelles d´ efinies et continues sur I, on note (Eϕ,ψ) l’´ equation diff´ erentielle y′′ + ϕy′ + ψy = 0 (Eϕ,ψ) Si ϕ est la fonction nulle, l’´ equation diff´ erentielle (Eϕ,ψ)se notera simplement (Eψ) Les solutions des ´ equations diff´ erentielles sont ` a valeurs r´ eelles Si u est solution sur I d’une ´ equation diff´ erentielle, un ´ el´ ement t0 de l’intervalle I est dit z´ ero de u si u (t0) = 0 1` ere partie ´ Etude de solutions des ´ equations diff´ erentielles de Bessel d’indice entier Dans cette partie, n d´ esigne un entier naturel. On note (Bn) l’´ equation diff´ erentielle : x2y′′ + xy′ + x2 −n2 y = 0 (Bn) On note ´ egalement σn la fonction d´ efinie sur l’intervalle ]0, +∞[, par : σn(t) = 1 + 1 −4n2 4t2 1.1. Soit u une solution, non identiquement nulle, sur l’intervalle ]0, +∞[ de l’´ equation diff´ erentielle (Bn). On note v la fonction d´ efinie sur ]0, +∞[, par : ∀t > 0, v(t) = √ t u(t) Montrer que la fonction v est une solution, non identiquement nulle, sur l’intervalle ]0, +∞[ de l’´ equation diff´ erentielle (Eσn). 1.2 Si X k⩾0 akzk est une s´ erie enti` ere, ` a coefficients r´ eels et de rayon de convergence R > 0, on pose yn(t) = +∞ X k=0 aktn+k, t ∈]−R, R[ et on suppose que yn est solution, sur l’intervalle ]−R, R[, de l’´ equation diff´ erentielle (Bn). 1.2.1. Montrer que a1 = 0 et que, pour tout k ∈N, (k + 2) (2n + k + 2) ak+2 + ak = 0. 1.2.2. En d´ eduire que, pour tout entier naturel k, a2k+1 = 0 et a2k = a0n! (−1)k 22kk! (n + k)! . 1.3. Calculer le rayon de convergence des s´ eries enti` eres X k⩾0 1 k! (n + k)! zk et X k⩾0 (−1)k 22kk! (n + k)! z2k ´ Epreuve de Math´ ematiques I 1 / 4 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2018 – MP 1.4. Justifier que la fonction de Bessel d’indice n, not´ ee Jn d´ efinie sur R par : ∀t ∈R, Jn(t) =  t 2 n +∞ X k=0 (−1)k 22kk! (n + k)! t2k est une solution sur R de l’´ equation diff´ erentielle Bn. Dans la suite du probl` eme, on note Gn la fonction d´ efinie sur R par : ∀t ∈R, Gn(t) = +∞ X k=0 1 k! (n + k)! tk 1.5. Une premi` ere localisation des z´ eros de Jn sur l’intervalle ]0, +∞[ 1.5.1. Pr´ eciser Gn(0) et montrer qu’il existe β > 0 tel que Gn(t) > 0, pour tout t ∈]−β, β[ 1.5.2. Montrer que les z´ eros de la fonction Gn sont dans l’intervalle ]−∞, −β] 1.5.3 V´ erifier que, pour tout t ∈R, Jn(t) =  t 2 n Gn −  t 2 2! puis en d´ eduire que les z´ eros de la fonction Jn, sur l’intervalle ]0, +∞[, sont dans l’intervalle  2√β, +∞  2` eme partie Quelques r´ esultats utiles pour la suite 2.1. Quelques propri´ et´ es de la fonction Gn 2.1.1. Justifier que la fonction Gn est de classe C∞sur R puis exprimer sa d´ eriv´ ee p-i` eme G(p) n , pour p ∈N∗, comme somme d’une s´ erie 2.1.2. Montrer soigneusement que pour tout x ∈R, Z x 0 tnGn(t) dt = xn+1G′ n(x) 2.1.3. Montrer que pour tout p ∈N∗, la fonction x 7− →xn+pG′ n(x) est d´ erivable sur R de d´ eriv´ ee x 7− →xn+p−1 (Gn(x) + (p −1)G′ n(x)) 2.1.4. Montrer que pour tout p ∈N, il existe deux polynˆ omes Ap et Bp ` a coefficients entiers, de degr´ es respectifs p −1 et p si p ⩾1, v´ erifiant : ∀x ∈R, Z x 0 tn+pGn(t) dt = xn+1 (Ap(x)Gn(x) + Bp(x)G′ n(x)) (1) On pourra raisonner par r´ ecurrence et exprimer Ap+1 et Bp+1 en fonction de Ap et Bp respectivement 2.1.5. Pr´ eciser les valeurs de Ap(0) et Bp(0) pour tout p ∈N 2.1.6. Soit x ∈R un z´ ero de la fonction Gn ; montrer que G′ n(x) ̸= 0. On pourra raisonner par l’absurde et utiliser la formule (1) et le th´ eor` eme d’approximation polynomiale de Weierstrass. 2.2. Th´ eor` eme de rel´ evement : Soit I un intervalle non trivial de R. 2.2.1. Soit f, g : I − →C deux fonctions d´ erivables sur I, ` a valeurs dans C∗et telles que f ′ f = g′ g . Montrer que f et g sont proportionnelles, c’est-` a-dire qu’il existe λ ∈C∗tel que g = λf 2.2.2. Soit h : I − →C une fonction de classe C1 sur I telle que, pour tout t ∈I, |h(t)| = 1. Si t0 ∈I et θ0 ∈R sont tels que h(t0) = eiθ0, montrer que la fonction θ d´ efinie sur I par ∀t ∈I, θ(t) = θ0 −i Z t t0 h′(s) h(s) ds est ` a valeurs r´ eelles, de classe C1 sur I et v´ erifie h(t) = eiθ(t), pour tout t ∈I. ´ Epreuve de Math´ ematiques I 2 / 4 Tournez la page S.V.P. Concours National Commun – Session 2018 – MP 2.2.3. Soit f : I − →C une fonction de classe C1 sur I et ` a valeurs dans C∗ (i) Montrer que la fonction g : I − →R, t 7− →|f(t)| est de classe C1 sur I (ii) Soient t0 ∈I et θ0 ∈R tels que f (t0) = |f (t0)| eiθ0. Montrer qu’il existe une unique fonction θ : I − →R, de classe C1 telles que θ(t0) = θ0 et ∀t ∈I, f (t) = |f (t)| eiθ(t) 2.3. Formule d’int´ egration par parties it´ er´ ee Soient a et b deux r´ eels tels que a < b, et soit p un eniter naturel non nul. On consid` ere deux fonctions num´ eriques f : [a, b] − →R et f : [a, b] − →R de classe Cp. Montrer que Z b a f (p)(t)g(t) dt = (−1)p Z b a f(t)g(p)(t) dt + p X k=1 (−1)k+1f (n−k)(b)g(k−1)(b) −f (n−k)(a)g(k−1)(a)  3` eme partie ´ Etude des z´ eros des solutons d’une ´ equation diff´ erentielle d’ordre 2 Soient I est un intervalle non trivial de R et ϕ, ψ deux fonctions r´ eelles d´ efinies et continues sur I ; on rappelle que (Eϕ,ψ) et (Eψ) d´ esignent respectivement les ´ equations diff´ erentielles y′′ + ϕy′ + ψy = 0 et y′′ + ψy = 0 3.1. Justifier que, pour tout t0 ∈I et tout couple (x0, x′ 0) de r´ eels, il existe une unique solution u de (Eϕ,ψ), d´ efinie sur I, telle que u(t0) = x0 et u′(t0) = x′ 0. On notera Zw l’ensemble des z´ eros sur I d’une solution w de (Eϕ,ψ) : Zw = {s ∈I , w(s) = 0} 3.2. Premi` eres propri´ et´ es des z´ eros d’une solution de (Eϕ,ψ) Soit u une solution sur I, non identiquement nulle, de l’´ equation diff´ erentielle (Eϕ,ψ) 3.2.1. Montrer que si t0 ∈I est un z´ ero de u alors u′ (t0) ̸= 0 et il existe η > 0 tel que ∀t ∈I ∩]t0 −η, t0 + η[ \ {t0}, u (t) ̸= 0 3.2.2. Soient a et b deux ´ el´ ements de I tels que a < b. Montrer que l’ensemble Zu ∩[a, b] est fini. On pourra raisonner par l’absurde et utiliser le th´ eor` eme de Bolzano-Weierstrass 3.3. ´ Etude des z´ eros d’une solution de l’´ equation diff´ erentielle (Eψ) Dans cette question, on suppose que I = [α, +∞[, avec α ∈R, et que la fonction ψ est ` a valeurs strictement positives sur I On consid` ere une solution u sur I, non identiquement nulle, de uploads/Geographie/ cnc-mp-2018-maths-1-epreuve.pdf

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