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UNIVERSITE VICTOR SEGALEN BORDEAUX 2 U.F.R. "Sciences et Modélisation" COURS de

UNIVERSITE VICTOR SEGALEN BORDEAUX 2 U.F.R. "Sciences et Modélisation" COURS de STATISTIQUE MATHEMATIQUE Modèles, Méthodes, Applications à l’usage des étudiants de DEUG, Licence et Master M. Nikulin V. Bagdonaviˇ cius C. Huber V. Nikoulina BORDEAUX 2004/2005 1 2 Table des matières 0 LOIS USUELLES. APPROXIMATIONS. 11 0.1 Lois discrètes. Approximations normale et de Poisson. Théorème limite central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 0.2 Approximations normales et de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 0.3 Lois continues. Liaisons entre des lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 0.4 Epreuves de Bernoulli et marches aléatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0.5 Représentation d’une suite d’épreuves de Bernoulli indépendante . . . . . 22 0.6 Probabilités associées à une marche aléatoire reliant 2 points du treillis S . 23 0.7 Frontière absorbante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 0.8 Marches aléatoires et distributions discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 QUELQUES PROBLÈMES CLASSIQUES DE LA STATISTIQUE MATHE- MATIQUE. 31 1.1 Problèmes d’estimation et de comparaison des probabilités de succès. . . . 31 1.2 Modèle probabiliste de l’erreur de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.3 Méthode de Monte-Carlo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2 ELEMENTS DE LA THEORIE DE L’ESTIMATION PONCTUELLE. 55 2.1 Modèle statistique. Fonction de vraisemblance. . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.2 Statistique. Échantillon. Loi empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2.3 Estimateur ponctuel. Consistance. Estimateur invariant . . . . . . . . . . . 62 2.4 Fonction de perte, fonction de risque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.5 Statistiques exhaustives, nécessaires, minimales et complètes. . . . . . . . 65 2.6 Information de Fisher. Inégalité de Rao-Cramer-Fréchet. Théorème de Rao- Blackwell-Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.7 Méthode des moments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.8 Méthode des moindres carrés. Modèle de Gauss de la théorie des erreurs. . 81 2.9 Régions, intervalles, limites de conﬁance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2.10 Méthode de Bolshev de construction des limites de conﬁance. . . . . . . . 88 2.11 Théorème de Fisher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 2.12 Intervalle de conﬁance pour la moyenne d’une loi normale . . . . . . . . . 100 2.13 Intervalle de conﬁance pour la variance d’une loi normale . . . . . . . . . 105 2.14 Intervalle de conﬁance pour la différence des moyennes de deux lois normales112 2.15 Intervalle de conﬁance pour le quotient des variances de deux lois normales. 117 2.16 La loi de Thompson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.17 Méthode du maximum de vraisemblance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 2.18 Propriétés asymptotiques du rapport de vraisemblance . . . . . . . . . . . 132 3 2.19 Decomposition orthogonale de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2.20 Modèle d’analyse des variances à 2 facteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . 154 2.21 Modèle exponentiel. Analyse statistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 3 ELEMENTS DE LA STATISTIQUE NON PARAMETRIQUE. 169 3.1 La loi empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.2 Médiane de la loi empirique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 3.3 Théorème de Kolmogorov. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 3.3.1 Transformation de Smirnov. Test de type de Kolmogorov-Smirnov pour des lois discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 3.4 Tests de Kolmogorov et Smirnov pour un échantillon. . . . . . . . . . . . 186 3.5 Test de Kolmogorov-Smirnov pour deux échantillons. . . . . . . . . . . . 189 3.6 Test ω2 de Cramer-von Mises et statistiques associées de Lehmann, Gini, Downton, Moran-Greenwood et Sherman. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 3.7 Les statistiques de Kolmogorov et Gihman. . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 3.8 Test des signes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 3.9 Test de Wilcoxon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 3.10 Estimation non paramétrique de la densité. Histogramme. Estimateur de Rosenblatt. Le noyau de Parzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 4 TESTS STATISTIQUES. 207 4.1 Principe des tests. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 4.2 Test de Neyman-Pearson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 4.3 Loi multinomiale et test du chi-deux de Pearson. . . . . . . . . . . . . . . 214 4.4 Théorème de Fisher. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 4.5 Théorème de Chernoff-Lehmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 4.6 Test du chi-deux pour une loi logistique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 4.7 Test du chi-deux dans un problème d’homogénéité. . . . . . . . . . . . . . 228 4.8 Test du χ2 d’homogénéité pour des lois multinomiales. . . . . . . . . . . . 233 4.9 Test du χ2 pour l’indépendance dans une table de contingence. . . . . . . . 236 4.10 Test du Chauvenet pour la détection des observations aberrantes. . . . . . . 241 5 REGRESSION 243 5.1 Régression linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 5.1.1 uploads/Geographie/ cours-statmath.pdf