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Master 1 Processus stochastiques F. Merlevède, E. Clément, P.-M. Samson Univers

Master 1 Processus stochastiques F. Merlevède, E. Clément, P.-M. Samson Université Gustave Eiﬀel Année 2020–2021 Devoir pour le 2 novembre 2020 Exercice 1. Soit (Zn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de loi de Bernoulli de paramètre p ∈(0, 1). On pose X0 = 0 et pour n ≥1 Xn =      0, si Zn = 0, n si Z1 = Z2 = . . . = Zn = 1, i si i ≤n −1 et Zn−i = 0, Zn−i+1 = Zn−i+2 = . . . = Zn = 1. Ainsi Xn est la longueur de la série de 1 de la suite (Zn)n≥1 se terminant à l’instant n. 1. Montrer que (Xn)n≥0 est une chaîne de Markov homogène et déterminer sa matrice de transition. 2. Vériﬁer que (Xn) admet une unique probabilité invariante que l’on explicitera. 3. Calculer P n i,j. On distinguera j = 0, 1 ≤j ≤n −1, j = n, j > n. En déduire limn→∞P n i,j. 4. Que peut on dire de P n≥1 P n 0,0 ? Qu’en déduit-on pour l’état 0. 5. Vériﬁer que la chaîne est récurrente. Exercice 2. On considère une chaîne de Markov (Xn)n≥0 dont l’espace des états est N et dont la probabilité de transition p est irréductible. Pour deux constantes R et τ, 0 < R < ∞et τ > 0, on suppose que : ∀a > R, X c∈N (c −a) p (a, c) ≤−τ. 1. Montrer que cette dernière condition s’écrit encore Ea(X1) ≤a −τ pour tous a > R. En donner une interprétation par une phrase. 2. On considère T = inf {n ≥1; Xn ≤R} et Zn = Xn1T≥n. Pour a > R et n entiers c1, ..., cn strictement supérieurs à R, et n ≥1, prouver Ea (Zn+1|X1 = c1, ..., Xn = cn) ≤cn −τ. [Indication : si Y est une variable aléatoire discrète à valeurs dans E et B un événement, on a X1B = P y∈E x1X=y1B.] En déduire que pour tout a > R et n ≥1, 0 ≤Ea (Zn+1) ≤Ea (Zn) −τPa (T > n) . 3. En déduire que Ea (T) ≤a/τ pour tout a > R. [Indication : on admettra que P∞ n=0 Pa (T > n) = Ea (T).] 4. On suppose dans cette question que R = 0. (a) Justiﬁer l’égalité T = T0. (b) Expliquez pourquoi Pa(T0 < ∞) = 1 pour a ≥1. [Indication : utiliser le résultat de la question 3.] (c) Montrer que E0(T0) = 1 + X a≥1 p(0, a)Ea(T0). (d) En déduire que si E0(X1) < ∞alors E0(T0) < ∞, et la chaîne de Markov est récurrente positive. [Indication : utiliser le résultat de la question 3.] 1 uploads/Geographie/ devoir-m1-math.pdf