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Chapitre 1 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES I SUITES GÉOMÉTRIQUES . . . . . . . . . .

Chapitre 1 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES I SUITES GÉOMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Propriété 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 Propriété 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 Somme de termes consécutifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II LIMITE D’UNE SUITE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Limite inﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Limite ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3 Limites d’une suite géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 III SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Étudier une suite arithmético-géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 A. YALLOUZ (MATH@ES) 2 Lycée JANSON DE SAILLY Année 2017-2018 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES Tle ES 4 Tle ES-L I SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Dire qu’une suite (un) est géométrique signiﬁe qu’il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier n, un+1 = qun Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique. ÉVOLUTION EN POURCENTAGE — Augmenter une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par 1+ t 100. — Diminuer une grandeur de t% équivaut à multiplier sa valeur par 1− t 100. Chaque fois qu’on est confronté à une situation d’évolutions successives d’une grandeur de t%, on peut déﬁnir une suite géométrique de raison 1+ t 100 (augmentation) ou 1− t 100 (diminution) EXEMPLES 1. Un capital de 2 000 € est placé au taux d’intérêt composé de 1 % par an. On note Cn le capital disponible au bout de n années alors : Cn+1 = Cn × µ 1+ 1 100 ¶ = 1,01×Cn Ainsi, la suite (Cn) est une suite géométrique de premier terme C0 = 2000 et de raison q = 1,01. 2. Pour lutter contre la pollution, un groupe industriel décide de réduire progressivement sa quantité de rejets de 4% par an. En 2012, la quantité de rejets était de 50 000 tonnes. On note rn la quantité de rejets l’année 2012+n d’où : rn+1 = rn × µ 1−4 100 ¶ = 0,96×rn Ainsi, la suite (rn) est une suite géométrique de premier terme r0 = 50000 et de raison 0,96. 2 PROPRIÉTÉ 1 Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 alors pour tout entier n, un = u0 × qn EXEMPLE L’objectif du groupe industriel est de réduire progressivement la quantité de rejets pour atteindre une quantité inférieure ou égale à 30 000 tonnes (soit une réduction de 40%). Cet objectif sera-t-il atteint au bout de 10 ans? Au bout de 10 ans, la quantité de rejets est de : r10 = 50000×0,9610 ≈33242 Avec un réduction de 4 % par an, en 2022 l’objectif du groupe industriel ne sera pas atteint. A. YALLOUZ (MATH@ES) 3 Lycée JANSON DE SAILLY Année 2017-2018 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES Tle ES 4 Tle ES-L 3 PROPRIÉTÉ 2 Si (un) une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n et pour tout entier p, un = up × qn−p 4 MONOTONIE Soit (un) une suite géométrique de raison q et de premier terme u0 donc : un+1 −un = u0 × qn+1 −u0 × qn = u0 × qn ×(q −1) La monotonie de la suite dépend du signe de u0, qn et (q −1) — Si q < 0 alors qn est positif pour n pair, négatif pour n impair donc la suite n’est pas monotone. — Si q > 0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit u0 ×(q −1) . Si q > 1 Si 0 < q < 1 Si u0 > 0, alors la suite (un) est croissante 1 2 3 4 5 6 7n un b b b b b b b b b Si u0 < 0, alors la suite (un) est décroissante 1 2 3 4 5 6 7n un b b b b b b b b b Si u0 > 0, alors la suite (un) est décroissante 1 2 3 4 5 6 7n un b b b b b b b b b Si u0 < 0, alors la suite (un) est croissante 1 2 3 4 5 6 7n un b b b b b b b b b Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants THÉORÈME 1 Soit q un réel non nul. — Si q < 0 alors la suite ¡ qn¢ n’est pas monotone. — Si q > 1 alors la suite ¡ qn¢ est strictement croissante. — Si 0 < q < 1 alors la suite ¡ qn¢ est strictement décroissante. — Si q = 1 alors la suite ¡ qn¢ est constante. THÉORÈME 2 Soit (un) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u0 non nul — Si q < 0 alors la suite (un) n’est pas monotone. — Si q > 0 et u0 > 0 alors la suite (un) a le même sens de variation que la suite ¡ qn¢ . — Si q > 0 et u0 < 0 alors la suite (un) a le sens de variation contraire de celui de la suite ¡ qn¢ . 5 SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS Soit (un) une suite géométrique de raison q ̸= 1 et de premier terme u0 alors pour tout entier n, u0 +u1 +···+un = n X i=0 ui = u0 µ1−qn+1 1−q ¶ A. YALLOUZ (MATH@ES) 4 Lycée JANSON DE SAILLY Année 2017-2018 COMPLÉMENTS SUR LES SUITES Tle ES 4 Tle ES-L Cette formule peut se retenir de la façon suivante : La somme S de termes consécutifs d’une suite géométrique de raison q ̸= 1 est uploads/Geographie/ complements-sur-les-suites-cours.pdf