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UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL ORIGINES ALGÉBRIQUE ET GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL ORIGINES ALGÉBRIQUE ET GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES ET LEUR EXTENSION AUX QUATERNIONS; FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE. MÉMOIRE PRÉSENTÉ COMME EXIGENCE PARTIELLE DE LA MAÎTRISE EN MATHÉMATIQUES PAR LUC POITRAS AOÛT 2007 .. UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL Service des bibliothèques · Avertissement La diffusion de ce mémoire se fait dans leq respect des droits de son auteur, qui a signé le formulaire Autorisation de reproduire et de diffuser un travail de recherche de cycles supérieurs (SDU-522- Rév.01-2006). Cette autorisation stipule que «conformémentà l'article 11 du Règlement no 8 des études de cycles supérieurs, [l'auteur] concède à l'Université du Québec à Montréal une licence non exclusive d'utilisation et de . publication qe la totalité ou d'une partie importante de [son] travail de recherche pour des fins pédagogiques et non commerciales. Plus précisément, [l'auteur] autorise l'Université du Québec à Montréal à reproduire, diffuser, prêter, distribuer ou vendre des . · copies de. [son] travail de recherche à des fins non commerciales sur quelque support que ce soit, y compris l'Internet. Cette licence et cette autorisation n'entraînent pas une renonciation de [la] part [de l'auteur] à [ses] droits moraux ni à [ses] droits de propriété intellectuelle. Sauf ententè contraire, [l'auteur] conserve la liberté de diffuser et de commercialiser ou non ce travail dont [il] possède un exemplaire.» ------------- REMERCIEMENTS Je tiens à remerCler mes co-directeurs, Messieurs Louis Charbonneau et Denis Tanguay, pour leurs généreux commentaires critiques et leur lecture minutieuse des versions successives du présent mémoire. Et en particulier Monsieur Charbonneau pour m'avoir rendu possible l'accès à certains corpus historiques. Je remercie également les autres membres du jury, Gilbert Labelle et Stéphane Cyr, pour leurs commentaires critiques et encouragements. J'aimerais aussi en ces pages témoigner de ma reconnaissance à Monsieur Alexandre Feimer, qui enseigna au Mont-Saint-Louis de 1964 à 1982 et que j'ai eu la chance d'avoir comme professeur alors que j'étais jeune étudiant (au Mont-Saint-Louis), pour sa passion contagieuse des mathématiques et la rigueur intellectuelle dont il faisait preuve dans son enseignement de la géométrie. Le temps disponible d'un individu étant hélas une ressource finie, je tiens à remercier mes enfants, Gabrielle V. Poitras et Catherine P. Voyer, ainsi que ma conjointe, Carole Martin, pour leur patience et leur soutien. ' TABLE DES MATIERES LISTE DES FIGURES ................................................................................. v RÉSUMÉ ................................................................................................. vii INTRODUCTION ........................................................................................ 1 CHAPITRE 1 LES NOMBRES COMPLEXES ..................................................................... 6 1 .1 Antiquité et Moyen-Âge .................................................................. 6 1.2 Cardano, Bombelli, Ferrari ............................................................ 22 1 .3 Viète, Girard, Descartes ................................................................ 30 1 .4 Newton, Leibniz, Euler .................................................................. .4 7 1.5 Wessel, Argand, Gauss, Cauchy .................................................... 59 1. 6 De Morgan, Hamilton ..................................................................... 69 1 .7 Enseigner les nombres complexes au collégial. ............................. 78 CHAPITRE Il LES QUATERNIONS ................................................................................ 8 5 2.1 L'approche hamiltonnienne des quaternions ................................ 86 2.2 Algèbre linéaire et quaternions ..................................................... 95 CHAPITRE Ill LES FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE ................................................ 1 03 3.1 Hilbert et les fondements de la géométrie ................................ 1 09 3.2 La géométrie hyperbolique ......................................................... 1 21 3.3 Axiomatique et intuition du « réel » physique ............................ 1 26 CONCLUSION ....................................................................................... 1 28 - - - - - - - - - ------- - - - - APPENDICE A LES AXIOMES DE HILBERT ............................................... ~ ................... l 32 APPENDICE B AXIOMES DE LA GÉOMÉTRIE NEUTRE ET DE LA GÉOMÉTRIE HYPERBOLIQUE ...................................................... l 35 APPENDICE C RECONSTRUCTION ALGÉBRIQUE DES QUATERNIONS .......................... 138 RÉFÉRENCES ....................................................................................... 1 40 LISTE DES FIGURES Figure 1.1 La somme a+b et le produit ab ............ .................................................. 6 1.2 Complétion du carré ................................................................................ . 8 1.3 Nombres polygonaux à k+ 1 côtés ................ ........................................... 10 1.4 Théorème de Pythagore ....................................................................... .. . 11 1.5 Ratio incommensurable p/q ........................................... .............. ........... 12 1.6 Postulat d'Euclide ................................................................................. .. 15 1. 7 Carré d'une somme ............................................................................... .. 16 1.8 Racine carrée d'un produit. ............................. ...................... .. ............ .. .. 17 1.9 Méthode d'al-Khwarizmi ................................ ....................................... . 20 1.10 Méthode d'al-Khayyami ......................................................................... 21 1.11 Illustrationde (u-v)3 +3uv(u-v)=u3-v 3 ................. . ...... ...... . ........ ........... 24 1.12 Résolution de x 3- 3b 2 x=b 2 d ................................................................... 32 1.13 Produit de nombres réels positifs ......................................... .. .. ............... 3 8 1.14 Extraction de racine deuxième ................................................................ 39 1.15 Résolution de l'équation Z2 =±az+ b 2 ...... ......... ..... .... ............ ... .. ........ . .... .40 1.16 Résolution de l'équation z2=az-V ......... .......................... ..................... .. 40 1.17 Résolution de z 3= pz -q .. ............ ................. ................................... ..... .. 42 1.18 L'autre solution positive de Z 3=pz-q ..... ................. ......... ...................... .42 1.19 Le « plan complexe » de Wessel.. ........ ........................................ ... ........ 60 1.20 Produit de segments dans le « plan complexe » de Wessel... ................... 61 1.21 « Lignes dirigées » d'Argand ......................................... .......................... 63 1.22 Les trois« moyennes proportionnelles géométriques» du 3e degré .. ....... 64 1.23 Le plan complexe représenté par Gauss ............................................. ..... 65 1.24 Le plan complexe ................................................................ ........ .. ... ..... . 80 Vl 1.25 La somme des nombres complexes ......................................................... 80 1.26 Norme et argument d'un nombre complexe ..................... ........ ................ 81 1.27 Produit de nombres complexes et similitude des triangles ............. .......... 81 1.28 Rotation dans le plan complexe ........................................................... ... 82 1.29 Inverse d'un nombre complexe ................................................................ 82 2. 1 Conjugué d'un quaternion ................................................................ ...... 88 2.2 Produit de quaternions ................ ................ ................. .......................... 91 2.3 Quaternions coplanaires ..... ........................................................ ........ ..... 91 2.4 Projection orthogonale .................................................. .................... ...... 93 2.5 Rotation d'un angle 8 du vecteur v autour du vecteur u ...................... 95 3.1 Somme segmentaire .............................................................................. 114 3 .2 Produit segmentaire ... ......... ...... ............................................................ 114 3.3 Existence de l'angle droit... ........... ........................... ... ................ ...... .. .. 115 3.4 Unicité de l'angle droit.. ........................................................................ 115 3.5 Existence d'une droite parallèle ............................................................. 117 3.6 'La' parallèle de Legendre ..................................................................... 118 3.7 Somme des angles d'un triangle ........................... .... : ............................ l19 3.8 Quadrilatère de Saccheri .............................................. ......................... 120 3.9 Demi-sphère de Poincaré ...................................................................... 124 , , RESUME La première partie de ce mémoire relève les principaux problèmes de nature algébrique et géométrique qu'ont dû résoudre les mathématiciens avant d'accepter l'existence des nombres complexes; l'une des conséquences de cet exercice est de proposer l'esquisse d'une approche plus adéquate à l'enseignement des nombres complexes au collégial. La deuxième partie présente l'approche géométrique des quaternions, tel que formulée par leur inventeur (Hamilton), puis démontre leurs principales propriétés géométriques dans le contexte de l'algèbre linéaire. Dans la troisième partie, l'axiomatisation de l'intuition géométrique est abordée dans le contexte des fondements proposés par Hilbert en regard des géométries non euclidiennes. Mots-clefs: Histoire des nombres complexes; quaternions; fondements de la géométrie. Rapportons ici les moyens par lesquels notre entendement peut s'élever à la connaissance sans crainte de se tromper. Or il en existe deux, l'intuition et la déduction. Par intuition j'entends non le témoignage variable des sens, ni le jugement trompeur de l'imagination naturellement désordonnée, 1nais la conception d'un esprit attentif, si distincte et si claire qu'il ne lui reste aucun doute sur ce qu'il comprend [ ... ]. C'est ainsi que chacun peut voir intuitivement qu'il existe, qu'il pense, qu'un triangle est terminé par trois lignes, ni plus ni moins, qu'un globe n'a qu'une surface, et tant d'autres choses [ ... ]. On peut dire que les premières propositions, dérivées immédiatement des principes, peuvent être, suivant la manière de les considérer, connues tantôt par intuition, tantôt par déduction; tandis que les principes eux-mêmes ne sont connus que par intuition, et les conséquences éloignées que par déduction. René Descartes, Les règles pour la direction de l'esprit (1629, Règle troisième). [Boyle] m'a confirmé dans cette volonté qui fut pour moi depuis longtemps, comme j'ai connu, de traiter par les démonstrations Géométriques la Science relative à la pensée. Gottfried Wilhelm Leibniz, 4" lettre à Maître Oldenburg (1675, p. 11). Les deux dernières décennies ont vu la montée et la chute de plusieurs idéologies pseudo-scientifiques de l'apprentissage des mathématiques. Des spécialistes ont soutenu les pires absurdités: par exemple, que l'on devait d'abord enseigner des choses abstraites parce que, dans le monde moderne, l'abstrait précède le concret, la théorie précède la pratique! C'est ainsi que l'on a voulu enseigner les géométries finies avant la géométrie, la théorie des groupes avant l'apprentissage des nombres, la topologie avant l'analyse, la logique formelle avant la géométrie analytique. On a voulu d'abord enseigner la synthèse de connaissances que le pauvre étudiant ne possédait pas au préalable! On appelait ça des mathématiques modernes et si personne n'y comprenait rien on en imputait la faute à une incapacité d'adaptation rapide au modernisme! [ ... ] Ceux qui croient que la rigueur exige l'élimination des figures (À bas Euclide!) devront changer d'avis. La géométrie des figures, faisant appel à l'expérience (ou l'intuition) visuelle, est un outil merveilleux de compréhension et de calcul. André Joyal (in Labelle, ca. 1975, préface) Presqu'invariablement, le remplacement du langage algébrique par le langage géométrique é~;pporte des simplifications considérables et fait apparaître des propriétés insoupçonnées lorsqu'elles sont enfouies sous un fatras de calculs. Jean Dieudonné, Pour l'honneur de l'esprit humain (1987, p. 179) uploads/Geographie/ m10011.pdf