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UFR Sciences - 2020-2021 C.C. n◦1 – M´ ecanique des milieux continus Licence de

UFR Sciences - 2020-2021 C.C. n◦1 – M´ ecanique des milieux continus Licence de M´ ecanique & Licence de Math´ ematiques 5 Novembre 2020 - dur´ ee : 90 minutes Le contrˆ ole se d´ eroulant dans des conditions particuli` eres de distanciation, les documents du cours sont autoris´ es. ` A la ﬁn de l’´ epreuve, vous scannerez vos copies et d´ eposerez une copie num´ erique au format pdf sur le d´ epˆ ot correspondant sur ecampus. Vous disposerez pour cela de 10 minutes apr` es le ﬁn de l’´ epreuve. Seules les devoirs remis sur ecampus seront corrig´ es. Si vous avez de questions, vous pouvez les poser via le service de messagerie int´ egr´ e sur ecampus. Aucun document n’est autoris´ e. 1 Questions de cours 1. D’un point de vue de la mod´ elisation en milieu continu, comment distingue-t-on un milieu ﬂuide d’un milieu solide ? 2. D´ ecrire la forme la plus g´ en´ erale de la loi de comportement d’un milieu ﬂuide Newtonien. 3. Rappelez la loi de comportement isotrope en ´ elasticit´ e lin´ eaire 2 Trajectoires et lignes de courant On consid` ere l’´ ecoulement bidimensionnel d´ eﬁni par son vecteur vitesse V = (Vx, Vy) avec Vx = kty, Vy = −ktx et k = cte 1. D´ eterminez et tracez: (a) Les lignes de courant. (b) La trajectoire d’une particule passant par le point de coordonn´ ees (1, 1) ` a l’instant t = 0. 2. Calculez: (a) Le gradient du vecteur vitesse (b) La divergence du vecteur vitesse (c) Le rotationnel du vecteur vitesse 1 UFR Sciences - 2020-2021 4 BARRE VERTICALE SUSPENDUE, SOUMISE ` A SON POIDS PROPRE 3 Cylindre de r´ evolution Une pi` ece est limit´ ee par deux cylindres de r´ evolution d’axe commun 0, x3, de rayons a et b (a < b) et par deux plans perpendiculaires aux g´ en´ eratrices. On pose r2 = x2 1 + x2 2. Le tenseur des contraintes en tout point M est d´ eﬁni par σ =    c1 −c2( x2 2−x2 1 r4 ) 2c2x1x2 r4 0 2c2x1x2 r4 c1 −c2( x2 1−x2 2 r4 ) 0 0 0 c1    (a) Montrer que les contraintes normales principales sont σ1 = c1 −c2 r2 , σ2 = c1, σ3 = c1 + c2 r2 (b) ´ Etudier les cercles de Mohr et discuter leurs positions suivant les valeurs de c1, et de c2, de a et de b. En quels points la contraintes tangentielle maximale est elle atteinte ? (c) D´ eterminer les ´ el´ ements de r´ eduction du torseur des efforts appliqu´ es sur chacune des bases et sur les deux surfaces lat´ erales 4 Barre verticale suspendue, soumise ` a son poids pro- pre On consid` ere une barre cylindrique d’axe e3, soumise ` a son poids propre. La barre est de section constante S et de longueur h. Elle est constitu´ ee d’un mat´ eriau ´ elastique homog` ene et isotrope et est encastr´ ee au niveau de sa face sup´ erieure Sh, en x3 = h, ` a un bˆ ati ﬁxe. Le reste de sa fronti` ere est suppos´ ee libre d’efforts. 1. ´ Ecrire les ´ equations d’´ equilibres de la narre 2. Pr´ eciser les conditions aux limites du probl` eme 3. V´ eriﬁer que le tenseur σ donn´ e par σ =   0 0 0 0 0 0 0 0 ρgx3   (e1,e2,e3) satisfait aux ´ equations d’´ equilibre et aux conditions aux limites en termes d’efforts, o` u g est la constante de pesanteur et ρ d´ esigne la densit´ e volumique de la barre. 4. En d´ eduire le tenseur des d´ eformations. 5. D´ eterminer le champ de d´ eplacement ` a un d´ eplacement rigide inﬁnit´ esimal pr` es. 2 uploads/Geographie/ controle-continue.pdf