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Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne Exercices de physique g´ en´ erale

Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne Exercices de physique g´ en´ erale Syst` emes de communication Quatri` eme semestre Corrig´ e de la s´ erie 20 Exercice 1 (a) La loi de Stefan-Boltzmann permet de calculer la puissance P du rayonnement ´ emis par un corps noir, de surface S et de temp´ erature T (en K !) : P = σT 4S, ce qui dans notre cas donne 906 W. (b) Le rayonnement est caract´ eris´ e par la longueur d’onde du maximum λm donn´ ee par la loi de Wien : λmT = 2.898 · 10−3m·K soit un rayonnement λm proche de 9440 nm pour un corps ` a 34◦C. Cette radiation se situe dans la gamme des IR et n’est donc pas visible pour notre œil. (c) Bilan ´ energ´ etique radiatif du corps humain en pr´ esence de l’air : puissance ´ emise par le corps : P1 = σST 4 corps ; puissance re¸ cue par le corps : P2 = σST 4 air. Dans les deux cas, il s’agit bien ´ evidemment de la mˆ eme surface S car l’air entoure compl` etement le corps. Pour ´ ecrire cette ´ equation sous cette forme il faut supposer que l’air se comporte comme un corps noir. Bilan : Prad. totale = P1 −P2 = σS(T 4 corps −T 4 air) = 154 W. En comparant cette valeur ` a la puissance fournie par le corps pour maintenir son m´ etabolisme (100 W) on s’aper¸ coit qu’un corps plac´ e dans un air ` a 20◦C perd de l’´ energie (ce qui donne une sensation de froid). Cette perte est encore aggrav´ ee si l’on tient compte de la transpiration Ptrans ∼15 W et de la conduction avec l’air ambiant Pcond ∼10 W. Pour compenser la perte de chaleur il faut bouger pour produire plus de chaleur ou alors mettre des vˆ etements ! Exercice 2 (a) Le soleil se comportant comme un corps noir, il ´ emet une puissance radiative donn´ ee par la loi de Stefan-Boltzmann : Psoleil = σSsoleilT 4 soleil, avec Ssoleil = 4πR2 S la surface du soleil. Comme les ondes EM se propagent sans perte d’´ energie dans le vide, on a conservation de la puissance radiative. En introduisant l’intensit´ e du rayonnement I(r) ` a une distance r du soleil on peut ´ ecrire : Psoleil = I(r)4πr2. Ainsi, au niveau de la terre (r = DS−T), on trouve une intensit´ e : I = µ RS DS−T ¶2 σT 4 Soleil (b) Ecrivons le bilan ´ energ´ etique pour la terre : Pre¸ cue = SdI et P´ emise = σSTT 4 T, avec Sd = πR2 T la section droite de la terre qui re¸ coit r´ eellement les radiations solaires et ST = 4πR2 T la surface de la terre qui ´ emet du rayonnement. A l’´ equilibre Pre¸ cue = P´ emise. Ce qui nous donne : T 4 T = SdI σST = πR2 TI σ4πR2 T = I 4σ = µ RS 2DS−T ¶2 T 4 soleil et ﬁnalement : TT = Tsoleil s RS 2DS−T Applications num´ eriques : I = 1.38 · 103 W/m2 ; TT = 280 K. Terre I Isol Iv Iv vitre Remarques : Notez bien l’ind´ ependance du rayon terrestre dans l’expression ﬁnale de la temp´ erature et la validit´ e du r´ esultat obtenu, compte tenu des hypoth` eses ´ emises. Exercice 3 (a) En admettant que le sol se comporte comme un corps noir, la loi de Stefan-Boltzmann permet d’extraire la temp´ erature du sol Tsol en fonction de l’intensit´ e I (en W/m2) du rayonnement solaire au niveau du sol : I = σT 4 sol, ou encore : Tsol = (I/σ)1/4 = 278 K. (b) On admet que la vitre est transparente au rayonnement du soleil et qu’elle bloque enti` erement le rayonnement de la terre. On suppose aussi qu’elle agit comme un corps noir. Pour le syst` eme “terre+vitre” la conservation globale de puissance implique : I = Iv. De mˆ eme, le bilan de puissance pour la terre implique : I + Iv = Isol. La loi de Stefan-Boltzman appliqu´ ee ` a la vitre nous donne : Iv = σT 4 v . Et pour le sol : Isol = σT 4 sol. On en d´ eduit que : T 4 v = Iv σ = I σ ⇒ Tv = 278 K T 4 sol = Isol σ = I + Iv σ = 2I σ ⇒ Tsol = 331 K Exercice 4 (a) La loi de Stefan-Boltzmann met la puissance ´ emise P en relation avec la temp´ erature T0 du tungst` ene : P = σT 4 0 S, o` u S = πd(d/2 + ℓ) = 1.60 · 10−5 m2 est la surface du ﬁlament. La temp´ erature T0 est alors donn´ ee par : T0 = µ P Sσ ¶1/4 = 3240 K. Il est int´ eressant de remarquer que cette temp´ erature est inf´ erieure ` a la temp´ erature de fusion du tungst` ene (3695 K). (b) La puissance ´ emise correspond ` a la variation d’´ energie du ﬁlament et peut ˆ etre mise en relation avec la baisse de temp´ erature : P(t) = −dE dt = −dE dT dT dt . Nous pouvons transformer cette ´ equation en utilisant P(t) = σT 4(t)S et dE/dT = cvρV , o` u V = 1.1 · 10−3 cm3 est le volume occup´ e par le ﬁlament. Nous aboutissons ainsi ` a l’equation diﬀ´ erentielle suivante : −cvρV dT dt = σT 4(t)S. Par s´ eparation des variables, nous obtenons : −dT T 4 = σS cvρV dt, qui devient : 1 3d(1/T 3) = σS cvρV dt. En int´ egrant cette expression de t0 ` a t, o` u t0 correspond ` a l’instant d’extinction de l’ampoule, nous obtenons : 1 T 3(t) −1 T 3 0 = 3σS cvρV (t −t0), o` u nous avons pos´ e T(t0) = T0. Le temps ∆t = t −t0 cherch´ e est alors trouv´ e en imposant T(t) = Tamb = 300 K : ∆t = cvρV 3σS · 1 T 3 amb −1 T 3 0 ¸ . L’application num´ erique donne ∆t = 39 s. uploads/Geographie/ corrige-20.pdf