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Corrigé Exercices Supplémentaires Texte4 Exercice 1 • 2 échantillons à comparer

Corrigé Exercices Supplémentaires Texte4 Exercice 1 • 2 échantillons à comparer : comparaison de moyennes • Hypothèse : pas de différence entre les deux échantillons • Echantillons indépendants • Petits échantillons (N1=25 et N2=20) + caractère (nombre de fautes) distribué normalement dans la population. • Risque 0,05 Echantillon1 : N1=25 Echantillon2 : N2=20 m1=10 m2=8 s1=7 s2=5,2 t = 1 N s 1 N s m m 2 2 1 1 2 1 − + − − ² ² = 1,07 suit une loi du t de Student. Le nombre de degré de liberté dépend du résultat du test du F de Snédécor, comparaison de variances (Hypothèse : les variances sont égales). F = σ1²/σ2² ou σ2²/σ1². • σ1² = N1.s²1/(N1-1) = 51,04 : numérateur. ddlnumérateur = 25-1 = 24 • σ2² = N2.s²2/(N2-1) = 28,46 : dénominateur. ddldénominateur = 20-1 = 19 Fcalculé= 1,79 Fthéorique = 2,11 Fcalculé < Fthéorique Non rejet de l’hypothèse d’égalité des Variances, donc : ddl = N1 + N2 – 2 = 43 t0,05 est compris entre 2,02 et 2,01 tcalculé = 1,07 < t0,05 Non rejet de l’hypothése de non différence entre les deux échantillons au risque 0,05. Remarque : on peut éviter ce calcul : quelque soit le nombre de ddl, t0,05 est supérieur à z0,05 = 1,96. Donc t0,05 < z0,05 = 1,96 < tcalculé = 1,07 : non rejet de l’hypothèse. Exercice 2 • 2 échantillons à comparer : comparaison de moyennes • Hypothèse : pas de différence entre les deux échantillons • Echantillons indépendants • Grands échantillons (N1=20000 et N2=19000 >30). • Risque 0,01 Echantillon1 : N1=20000 Echantillon2 : N2=19000 m1=9,6 m2=9,9 s1=3 s2=3,8 • z = 1 N s 1 N s m m 2 2 1 1 2 1 − + − − ² ² = 8,62 suit une loi Normale centrée réduite • z0,01 = 2,58 Zcalculé = 8,62 > z0,01 Rejet de l’hypothèse de non différence entre les deux échantillons au risque 0,01 : les deux échantillons sont différents, au risque 0,01. Exercice 3 • 2 échantillons à comparer : comparaison de moyennes • Hypothèse : pas de différence entre les deux échantillons • Echantillons indépendants • Petits échantillons (N1=11 et N2=12) + caractère (distance ) distribué normalement dans la population. • Risque 0,01 Echantillon1 : N1=11 Echantillon2 : N2=12 m1=3,0 m2=2,3 s1 =1,0 s2 =1,1 t = 1 N s 1 N s m m 2 2 1 1 2 1 − + − − ² ² = 1,53 suit une loi du t de Student. On peut faire la même remarque que pour l’exercice1 : quelque soit le nombre de ddl, t0,05 est supérieur à z0,05 = 2,58. Donc t0,05 < z0,01 = 2,58 < tcalculé = 1,53 : non rejet de l’hypothèse. Sinon : Le nombre de degré de liberté dépend du résultat du test du F de Snédécor, comparaison de variances (Hypothèse : les variances sont égales. • F = σ1²/σ2² ou σ2²/σ1² ; risque 0,01 • σ1² = N1.s²1/(N1-1) = 1,10 : dénominateur. ddldénominateur = 11-1 = 10 • σ2² = N2.s²2/(N2-1) = 1,32 : numérateur . ddlnumérateur = 12-1 = 11 Fcalculé= 1,20 4,71<Fthéorique <4,85 Fcalculé < Fthéorique Non rejet de l’hypothèse d’égalité des Variances, donc : ddl = N1 + N2 – 2 = 21 t0,01 =2,83 tcalculé = 1,07 < t0,01 Non rejet de l’hypothése de non différence entre les deux échantillons au risque 0,01. Exercice 4 • 2 échantillons à comparer : comparaison de moyennes • Hypothèse : pas de différence entre les deux échantillons • Echantillons indépendants • Petits échantillons (N1=20 et N2=18) + caractère (temps ) distribué normalement dans la population. • Risque 0,01 Echantillon1 : N1=20 Echantillon2 : N2=18 m1=7,07 m2=4,9 s1 =2,4 s2 =2,2 t = 1 N s 1 N s m m 2 2 1 1 2 1 − + − − ² ² = 2,83 suit une loi du t de Student. Le nombre de degré de liberté dépend du résultat du test du F de Snédécor, comparaison de variances (Hypothèse : les variances sont égales. • F = σ1²/σ2² ou σ2²/σ1². ;risque 0,01 • σ1² = N1.s²1/(N1-1) = 6,06 : numérateur . ddlnumérateur = 20-1 = 19 • σ2² = N2.s²2/(N2-1) = 5,12 : dénominateur. ddldénominateur = 18-1 = 17 Fcalculé= 1,18 Fthéorique ≈3,16 Fcalculé < Fthéorique Non rejet de l’hypothèse d’égalité des Variances, donc : ddl = N1 + N2 – 2 = 36 t0,01 =2,72 tcalculé = 2,83 > t0,01 Rejet de l’hypothése de non différence entre les deux échantillons au risque 0,01. Exercice 5 • 2 échantillons à comparer : comparaison de moyennes • Hypothèse : pas de différence entre les deux échantillons • Echantillons indépendants • Petits échantillons (N1=15 et N2=13) • On n’indique pas dans le texte si le caractère (résultats) est distribué normalement dans la population. En toute rigueur, on n’a pas le droit d’utiliser le test du t de Student !!! • Risque 0,05 Le calcul qui suit est justifié seulement si l’information « le caractère (résultats ) est distribué normalement dans la population. » est donnée. Echantillon1 : N1=15 Echantillon2 : N2=13 m1=75 m2=86 s1 =12 s2 =10 t = 1 N s 1 N s m m 2 2 1 1 2 1 − + − − ² ² = 2,55 suit une loi du t de Student. Le nombre de degré de liberté dépend du résultat du test du F de Snédécor, comparaison de variances (Hypothèse : les variances sont égales. • F = σ1²/σ2² ou σ2²/σ1². ;risque 0,05 • σ1² = N1.s²1/(N1-1) = 154,3 : numérateur. ddlnumérateur = 15-1 = 14 • σ2² = N2.s²2/(N2-1) = 108,3 : dénominateur ddldénominateur = 13-1 = 12 Fcalculé= 1,42 Fthéorique ≈2,62 Fcalculé < Fthéorique Non rejet de l’hypothèse d’égalité des Variances, donc : ddl = N1 + N2 – 2 = 26 t0,05 =2,06 tcalculé = 2,55 > t0,05 Rejet de l’hypothése de non différence entre les deux échantillons au risque 0,01. uploads/Geographie/ corrige-exercices-supplementaires-texte4.pdf