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Cours de Probabilités et Statistiques Tome 2 Mathieu Gentes Année / IUT

Cours de Probabilités et Statistiques Tome 2 Mathieu Gentes Année / IUT d’Orsay - Département Mesures Physiques Table des matières IV Echantillonage 5 1 Notion d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Distributions d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Moyenne d’échantillon - variance d’échantillon . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1.2 Paramètres descriptifs de la distribution . . . . . . . . . . . . 7 2.2 Proportion d’échantillon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 V Estimation - Intervalles de conﬁance 11 1 Les estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 deﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Estimateurs usuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Cas d’un caractère quantitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Cas d’un caractère qualitatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Intervalles de conﬁance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Intervalle de conﬁance pour une moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.1 Cas σ connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.2 Cas σ inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3 Intervalle de conﬁance pour une variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.1 Cas µ connu (cas peu fréquent) . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3.2 Cas µ inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Intervalle de conﬁance pour une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 VI Tests d’hypothèse 17 1 Introduction aux tests d’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.2 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Fonctionnement d’un test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4 Exemples de tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Tests de conformité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1 Test de conformité d’une moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.1 σ est connu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 σ est inconnu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Test de conformité d’une variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Test de conformité d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 4 TABLE DES MATIÈRES 3 Tests de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1 Test de comparaison de deux moyennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.1 σ1 et σ2 connus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2 σ1 et σ2 inconnus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.2 Test de comparaison de deux variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.3 Test de comparaison de deux proportions . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4 Test du Chi-deux d’ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chapitre IV Echantillonage 1 Notion d’échantillonnage Déﬁnition 1.1. On considère une population Ωde taille N. On appelle échantillon un sous- ensemble de cette population. Un échantillon de taille n est donc une liste de n individus (ω1, . . . , ωn) extraits de la population mère. Exemple. On considère une population constituée de 5 étudiants et on s’intéresse au temps hebdomadaire consacré par chaque étudiant à l’étude des statistiques. Etudiant Temps d’étude (h) A 7 B 3 C 6 D 10 E 4 Ω= {A, B, C, D, E} et N = 5. Déﬁnition 1.2. On appelle échantillonnage le prélèvement d’échantillons. Le rapport t de l’eﬀectif n de l’échantillon sur l’eﬀectif N de la population dans laquelle il a été prélevé, est appelé taux d’échantillonnage ou fraction de sondage : t = n N . Exemple. On prélève des échantillons de taille 2 : t = 2 5 = 0, 4. Déﬁnition 1.3. On appelle échantillonnage aléatoire un prélèvement de n individus dans une population mère tel que toutes les combinaisons possibles de n individus aient la même probabilité d’être uploads/Geographie/ cours-2 1 .pdf