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Statistique Mathématique F. Balabdaoui-Mohr et O. Wintenberger 2 i Nous tenons

Statistique Mathématique F. Balabdaoui-Mohr et O. Wintenberger 2 i Nous tenons à remercier Paul Doukhan et Jean-Marc Bardet pour avoir mis à disposition leurs notes de cours desquelles les chapitres 1, 7 et 8 du présent polycopié sont en grande partie inspirés. ii Table des matières I Fondements de la statistique mathématique 5 1 Rappels de probabilités 7 1.1 Rappels sur la théorie de la mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Mesures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Intégration de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 Applications en probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Espérance de variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Fonction de répartition et quantiles d’une loi de probabilité . 18 1.2.3 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.4 Principales lois de probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.2.5 Vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.6 Fonctions caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.2.7 Convergence de suites de variables aléatoires . . . . . . . . . 28 1.2.8 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 Échantillonnage 31 2.1 L’échantillon aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 Population de taille ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Expériences renouvelables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1.3 Modèle d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Cas de la population ﬁnie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 La moyenne empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.2 Variance empirique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Cas d’expériences renouvelables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.1 Moments empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 Processus empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.3.3 Quantiles empiriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Exhaustivité et information 49 3.1 Exhaustivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.1 Statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1 2 TABLE DES MATIÈRES 3.1.2 Statistique exhaustive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.3 Statistique exhaustive minimale . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 Statistique libre, complète et notion d’identiﬁabilité . . . . . . . . . 53 3.2.1 Statistique libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.2 Statistique complète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.2.3 Notion d’identiﬁabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Éléments de théorie de l’information . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Information au sens de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2 Information au sens de Kullback . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.3.3 Information et exhaustivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.4 Cas des familles exponentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 II L’estimation statistique 65 4 Généralités 67 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2 Propriétés générales d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 4.2.1 Estimateur sans biais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.2.2 Estimateur asymptotiquement sans biais . . . . . . . . . . . 68 4.2.3 Estimateur convergent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.3 Comparaison des estimateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 4.3.1 Décomposition biais-variance du risque . . . . . . . . . . . . 69 4.3.2 Comparaison des variances des estimateurs sans biais . . . . 69 4.3.3 Eﬃcacité d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5 Méthodes d’estimation ponctuelle 75 5.1 Maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.1 Déﬁnition et caractéristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.1.2 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.1.3 Propriétés à distance ﬁnie de l’EMV . . . . . . . . . . . . . 79 5.1.4 Propriétés asymptotiques de l’EMV . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 Méthode des moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 5.2.2 Propriétés asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3 Estimation Bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.1 Deux visions diﬀérentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.2 Estimation Bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 TABLE DES MATIÈRES 3 6 L’estimation par intervalle de conﬁance 93 6.1 Déﬁnition . . . . . . . . . uploads/Geographie/ cours-cisse-theorie-estimation 1 .pdf