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REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE UNIVERSITE ABOUBEKR BELKAID - T

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE UNIVERSITE ABOUBEKR BELKAID - TLEMCEN FACULTE DES SCIENCES DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES MEMOIRE Pour l’obtention du grade de MASTER Option : Syst` emes dynamiques et applications ` a la dynamiques de populations Pr´ esent´ e par : Mr.CHEKROUN Abdennasser Th` eme Fonction de Lyapunov et stabilit´ e globale pour un mod` ele de Kermack-McKendrick avec l’ˆ age d’infection Devant le jury compos´ e de : Mr. K. Yadi , M.C.A. Universit´ e de Tlemcen. Pr´ esident. Mr. G. Senouci Bereksi , M.C.A. Universit´ e de Tlemcen. Examinateur. Mr. S. Miri , M.C.B. Universit´ e de Tlemcen. Examinateur. Mr. T.M. Touaoula , M.C.A. Universit´ e de Tlemcen. Encadreur. Mr. B.Perthame , Professeur. Universit´ e Pierre et Marie Curie. Invit´ e. Ann´ ee universitaire : 2011 −2012 Remerci´ ements En pr´ eambule ` a ce m´ emoire, j’adresse ces quelques mots pour remercier notre grand Dieu tout puissant pour exprimer ma reconnaissance envers sa grande g´ en´ erosit´ e. Dieu m’a donn´ e la volont´ e, la patience, la sant´ e et la conﬁance durant toutes mes ann´ ees d’´ etudes. Je remercie mes parents d’ˆ etre si patients, si g´ en´ ereux et tellement merveilleux, ils ont toujours ´ et´ e une source de mtivation d’encouragements et de beaucoup de bonheur. je souhaite aussi adresser mes remerciements les plus sinc` eres aux personnes qui m’ont apport´ e leur aide et qui ont contribu´ e ` a l’´ elaboration de ce m´ emoire. En eﬀet, je voudrai remercier mon universit´ e, ma famille, mon encadreur et tous ceux qui ont particip´ e de pr` es ou de loin ` a la r´ ealisation de mon m´ emoire. Je tiens ` a remercier sinc` erement Monsieur TOUAOULA, qui, en tant que mon enca- dreur, s’est toujours montr´ e ` a l’´ ecoute tout au long de la r´ ealisation de ce m´ emoire, ainsi que pour son aide et le temps qu’il a bien voulu me consacrer. Merci ` a mes professeurs et enseignants d’avoir ´ et´ e l` a, de nous avoir ´ enorm´ emnt appris par la qualit´ e des enseignements qu’ils nous ont prodigu´ es. J’adresse mes remerciements aussi ` a notre chef de d´ epartement de math´ ematiques, Mr Benmiloud MEBKHOUT. C’est, encore, un grand plaisir pour moi, d’adresser mes plus sinc` eres remerciements ` a monsieurs :K. Yadi, S. Miri, G. Senouci Bereksi, B.Perthame d’avoir bien voulu pr´ esider mon jury, d’avoir accepter de faire partie de ce jury. Je remercie ´ egalement mes camarades de Master II et mes amis du d´ epartement pour leurs conseils et leurs id´ ees. Enﬁn, j’adresse mes plus sinc` eres remerciements ` a tous mes proches et amis, qui m’ont toujours soutenu et encourag´ e au cours de la r´ ealisation de ce m´ emoire. Merci ` a tous et ` a toutes. D´ edicace Je d´ edie ce m´ emoire : A mes tr` es chers parents. A mon Fr` ere : Salah Edine. A ma soeur : Soumia et son mari Mohamed. A ma petite ni` ece : Wissem,Meriem . A toute ma famille et sp´ ecialement ` a mes cousins. A tous mes amis sans ´ exception . A mes coll` egues : Merwan, Oussama, Souﬁane, Yassine, Rima, Kheira, Wafaa, Ikram Zoubida , Ilhem, Awatif, Nawal , Nesrine, Ibtissem, Kamila et les autres coll` egues de ma promotion et du d´ epartement . A tous qui m’ont apport´ e du soutien toute ma vie . A tous mes enseignants. Table des mati` eres Introduction 3 1 Pr´ eliminaires 5 1.1 G´ en´ eralit´ es sur les ´ equations diﬀ´ erentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Stabilit´ e des ´ equilibres au sens de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Rappels et compl´ ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Mod´ elisation math´ ematique 10 2.1 Mod´ elisation math´ ematique appliqu´ ee ` a la dynamique de populations . . . 10 2.2 Mod´ elisation math´ ematique en ´ epidemiologie . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3 Le mod` ele de Kermack-McKendrick avec l’ˆ age d’infection et interpr´ etation 18 3 Existence et unicit´ e des solutions pour le mod` ele de Kermack-McKendrick structur´ e en ˆ age d’infection 23 3.1 L’´ equation non lin´ eaire de renouvellement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.2 Existence des solutions du probl` eme lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.3 Existence des solutions du probl` eme non lin´ eaire . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Comportement asymptotique des solutions 35 4.1 La stabilit´ e du point d’´ equilibre trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4.2 Fonction de Lyapunov et stabilit´ e asymptotique globale du point d’´ equilibre end´ emique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Analyse num´ erique et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Bibliographie 47 2 Introduction L’´ epid´ emiologie d´ ecrit les variations de fr´ equence des maladies dans les groupes humains, et recherche les d´ eterminants de ces variations, et des facteurs qui pourraient les causer. Elle vise ` a la compr´ ehension des causes des maladies, ` a l’am´ elioration de leurs traitements et moyens de pr´ evention. Une maladie infectieuse est une maladie provoqu´ ee par la transmission d’un micro-organisme : virus, bact´ erie, parasite, champignon... Parmi les maladies infectueuses les plus r´ epandues et les plus connues, on citera ` a titre d’exemple : la Tuberculose, le Paludisme, et le SIDA . Il est l´ egitime de se poser la question : quel rapport avec les math´ ematiques ? On pourrait y r´ epondre comme suit : On commence par collecter des donn´ ees (´ epid´ emie : nombre de malades, temps de gu´ erison, pourcentage de mortalit´ e . . .) , autrement dit des chiﬀres . Il s’agit de mod´ eliser ces param` etres ` a savoir convertir un probl` eme concret, issu du monde r´ eel, en un probl` eme de nature math´ ematique, puis on passe ` a la r´ esolution et l’analyser du mod` ele, cela peut permettre de comprendre, de pr´ edire, d’agir . . . La vaccination pose encore aujourd’hui des probl` emes nouveaux, pour les- quels la mod´ elisation math´ ematique demeure indispensable. Notamment, la disparition programm´ ee des maladies am` ene ` a r´ eﬂ´ echir sur la n´ ecessit´ e de renforcer la vaccination ou de l’arrˆ eter . La diminution rapide de l’immunit´ e vaccinale est ´ egalement ` a l’origine de questions de sant´ e publique que l’on peut ´ etudier par mod´ elisation. Le th´ eor` eme du seuil ` a ´ et´ e reformul´ e par la notion du ratio de reproduction de l’´ epid´ emie, not´ e R0, dont l’interpr´ etation usuelle est le nombre de cas directement infect´ es par un unique infect´ e dans une population enti` erement susceptible. L’intuition, et les math´ ematiques, montrent que lorsque R0 est plus grand que 1, on aura l’apparition d’une ´ epid´ emie ; et inversement lorsque R0 est inf´ erieur ou ´ egal ` a 1 . Dans les articles correspondant ` a cette ´ etude (Kermack et al., 1927 ; Ker- mack,et al., 1932 ; Kermack et al., 1933), les auteurs d´ ecrivent ce qui est maintenant connu sous le nom de mod` ele ” SIR ”, le mod` ele fondamental sous sa forme la plus simple en EDO. Ce mod` ele correspond au syst` eme d’´ equations suivant 3 4 TABLE DES MATI` ERES            S′(t) = λ −βS(t)I(t) −µS(t), I′(t) = βS(t)I(t) −γI(t) −µI(t), R′(t) = γI(t) −µR(t). o` u S(t) repr´ esente la population des susceptibles ` a l’instant t , I(t) celle des infect´ es et R(t) celle des r´ efractaires. Plusieurs param` etres sont utilis´ es pour rendre compte de la dy- namique de cette population : λ constante correspond aux naissances dans la population, suppos´ ees toutes susceptibles, 1/µ est la dur´ ee de vie moyenne, 1/γ la dur´ ee uploads/Geographie/ fonction-de-lyapunov-et-stabilit.pdf