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(*) Université de Thiès, fndiop@gmail.com 3 novembre 2021 Estimation et Tests d

(*) Université de Thiès, fndiop@gmail.com 3 novembre 2021 Estimation et Tests d’hypothèses : Université de Thiès — UFR Sciences Économiques et Sociales — Département Management des Organisations Table des matières 1 Échantillonnage et Distributions d’échantillonnage 2 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 L’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Population mère et variable statistique parente . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Variable aléatoire parente et échantillon aléatoire simple . . . . . . 3 1.2.3 Constitution pratique des échantillons . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.4 Autres méthodes d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Introduction aux distributions d’échantillonnages . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1 Échantillonnage de certains moments . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 Distribution d’échantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Estimation ponctuelle et par intervalles 15 2.1 Estimation ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1.2 Estimateur optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.3 Méthode du maximum de vraisemblance . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.4 Information de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.5 Inégalité de Cramer-Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.6 Efﬁcacité d’un estimateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.7 Quelques statistiques classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Estimation par intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Estimation par intervalle d’une proportion p . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Estimation par intervalle d’une moyenne µ . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Estimation par intervalle d’une variance σ2 . . . . . . . . . . . . . 23 3 Tests d’hypothèses paramétriques 25 3.1 Introduction à la notion de tests et domaines d’application des tests . . . . . 25 3.1.1 Principe d’un test d’hypothèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.1.2 Formalisation d’un problème général de test . . . . . . . . . . . . . 26 3.1.3 Méthode de Neyman et Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.4 Démarche à suivre dans l’élaboration d’un test d’hypothèse . . . . 28 3.2 Tests de conformité d’une moyenne, d’une proportion et d’une variance . . 29 3.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.2 Test de conformité d’une moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2.3 Tes de conformité d’une proportion . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1 3.2.4 Test de conformité d’une variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Chapitre 1 Échantillonnage et Distributions d’échantillonnage 1.1 Introduction Pour des raisons évidentes, il est souvent impossible d’étudier les caractéristiques de tous les éléments d’une population. On se limite donc à l’étude d’échantillons. Nous verrons comment sélectionner un échantillon à partir d’une population ﬁnie grâce à la méthode d’échantillonnage aléatoire simple et comment un échantillon aléatoire peut être issu d’une population inﬁnie générée par un processus. Nous verrons ensuite comment utiliser les données obtenues à partir de l’échantillon pour estimer la moyenne, l’écart type ou une proportion de la population. De plus, nous introduirons le concept de distribution d’échantillonnage. Comme nous le montrerons, la connaissance de la distribution d’échan- tillonnage appropriée est ce qui nous permet de conclure quant à la justesse des résultats de l’échantillon. La dernière section traite des méthodes d’échantillonnage aléatoire alternatives à l’échantillonnage aléatoire simple, qui sont souvent employées dans la pratique. Grâce à la théorie de l’échantillonnage, on peut, à partir des observations faites sur un échantillon, estimer un paramètre dont la valeur est inconnue sur la population, soit en don- nant une valeur approchée de ce paramètre (estimation ponctuelle), soit en déterminant un intervalle auquel on peut attribuer un certain degré de conﬁance (estimation par intervalle de conﬁance). 1.2 L’échantillonnage Exemple 1.2.1. En 2003, la Finlande comptait 2 657 000 véhicules. Une étude exhaustive de cette population de véhicules a permis de montrer que : — Le nombre moyen de kilomètres parcourus en 2003 est m = 18 740 km. — L’écart type du nombre de kilomètres parcourus est e = 2100 km. On choisit au hasard un échantillon de 1 000 véhicules. Deux questions sont à élucider : — Quel sera le nombre moyen de kilomètres parcourus observé dans l’échantillon? — Quel sera l’écart type du nombre de kilomètres parcourus observé dans l’échan- tillon? 3 Le problème consiste à déduire de la moyenne et de l’écart type connus dans la population mère les valeurs probables de ces mêmes paramètres dans l’échantillon. le raisonnement déductif à mener est moins simple qu’il y paraît à première vue, car l’échantillon est constitué au hasard. Ainsi, il y a un très grand nombre d’échantillons de taille 1 000 qui peuvent être extraits de la population mère. D’un échantillonà l’autre, le kilométrage moyen varie, ainsi que l’écart type du kilométrage. Pour pouvoir tirer de l’observation d’un échantillon des informations relatives à la popu- lation toute entière, et si possible préciser quelle ﬁabilité on peut donner à ces informations, il est nécessaire dans un premier temps de déterminer la distribution probabiliste du pa- ramètre étudié, sur l’ensemble de tous les échantillons de la taille choisie. On détermine cette distribution en fonction des paramètres supposés connus sur la population. 1.2.1 Population mère et variable statistique parente Les notions de population, d’individus et de variables statistiques ont été déﬁnies dans la partie statistiques descriptives. À présent, la problématique principale repose sur la distinc- tion entre la population étudiée dans sa totalité, à l’aide d’une variable statistique, et le ou les échantillons d’individus issus de cette population. Déﬁnition 1.2.1. 1. La population totale sur laquelle porte l’étude s’appelle la popu- lation mère. Elle est notée P. 2. La taille de cette population mère est notée N. 3. La variable statistique qui associe à chaque individu de la population mère une mo- dalité s’appelle la variable statistique parente. La variable statistique parente est notée XS. La moyenne et l’écart type de XS sont respectivement notés m et e. Exemple 1.2.2. Dans l’exemple précédent, la population mère P est constituée de tous les véhicules répertoriés en Finlande en 2003. La taille N est égale à 2 657 000. La variable statistique parente est l’application XS, qui associe à chaque véhicule du parc automobile le nombre de kilomètres parcourus en 2003. La moyenne de XS sur P est m = 18740 km, l’écart type de XS sur P est e = 2100 km. 1.2.2 Variable aléatoire parente et échantillon aléatoire simple La construction d’échantillons suppose de réaliser des expériences aléatoires et donc d’utiliser des variables aléatoires. Variable aléatoire parente L’expérience aléatoire ε consiste à choisir un véhicule dans la population mère P. Soit X uploads/Geographie/ cours-estimation-test.pdf