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Cours optique P. Tchofo Dinda 1 Chapitre 5 SYSTEMES CENTRES DANS L’APPROXIMATIO

Cours optique P. Tchofo Dinda 1 Chapitre 5 SYSTEMES CENTRES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS I. Matrice de transfert d’un système centré II. Matrice de conjugaison III. Eléments cardinaux IV. Relation de conjugaison avec origine aux points principaux V. Relation de conjugaison avec origine aux foyers VI. Association de deux systèmes centrés : formule de Gullstrand VII. Constructions géométriques Cours optique P. Tchofo Dinda 2 I. Matrice de transfert d’un système centré Définition : Un système centré est constitué de surfaces réfringentes et/ou réfléchissantes telles que l’ensemble présente un axe de révolution, comme l’illustre schématiquement la figure ci-après : Ici, e s n et n désignent respectivement les indices des milieux d’entrée et sortie du système. Le problème est alors le suivant : Etant donné un rayon incident de vecteur directeur 1 u , quelles seront les caractéristiques de ce rayon à la sortie du système ? Les caractéristiques des rayons incident et émergent, aux point d’entrée Pe et point de sortie Ps du système, sont respectivement définies par e s e s e e s s x x P et P n n                 . La matrice T telle que s e P T P  , avec est la matrice de transfert du système. Par définition : Pour être plus explicite, considérons un rayon lumineux subissant une succession de réfractions lors de la traversée d’un système optique, comme illustré dans la figure ci-après: S ne ns z x E y S ne ns z x E e u1 s u2 xe xs Pe Ps 11 12 21 22 (1) T T T T T       21 (2) T V  z E M N S ne na nb nc ns La traversée du système par le rayon lumineux est décrite symboliquement par les transformations successives qui suivent : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R E EM R M MN R N NS R S s e e E E M M N N S S P R S NS R N MN R M EM R E P T P                        T T T T T T Cours optique P. Tchofo Dinda 3 II. Matrice de conjugaison Soient deux points conjugués 1 2 A et A , pour un système centré. Les rayons incidents et émergents se propagent respectivement dans des milieux d’indice 1 2 n et n . 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 A E SA T ES A E S A      T T La marche d’un rayon lumineux et la matrice de transfert reliant les points 1 2 A et A s’écrivent: 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) M A A SA T ES A E T T Si on désigne par 1 2 x et x les écarts respectifs des points 1 2 A et A par rapport à l’axe optique, alors on peut écrire que 2 1 11 12 1 2 2 1 22 1 11 11 12 2 1 2 1 22 1 1 1 ( ) 0 1 0 1 1 0 1 SA A E T T M A A n n V T A E T T T SA n n A E V V T n                                                      2 1 1 2 11 12 11 22 2 1 1 2 11 12 1 2 22 1 22 1 ( ) (3) V SA A E A E SA T T T T V n n n n m m M A A V m A E V V T n                                    n1 n2 z x 1 u1 2 u2 x1 E S A1 A2 x2 Cours optique P. Tchofo Dinda 4 * Etudions les éléments de la matrice 1 2 ( ) M A A 1 2 A et A étant conjugués, tous les rayons issus de 1 A doivent repasser par 2 A . Cela veut dire que L’équation (5) donne la relation de conjugaison du système : 1 1 2 12 11 22 1 1 2 0 EA EA SA T T T V n n n            En invoquant l’équation (5), l’équation (4a) se réduit à 2 11 1 x m x  , soit : Par ailleurs, comme les coefficients ij m ne dépendent pas de 1 1 2 2 , , , , x x et   ces coefficients sont aussi valables pour un point 1 A situé sur l’axe optique ( 1 0 x  ). Dans ce cas l’équation (4b) conduit à : 2 2 22 1 1 n m n     La forme générale de la matrice de conjugaison est la suivante : Son déterminant doit être égal 1 : 2 1 0 . (9) t a G M n V G n            2 11 1 12 1 1 2 2 1 22 1 1 (4 ) (4 ) x m x m n a n V x m n b             2 x doit être indépendant de 1   12 0 (5) m  2 1 1 2 11 22 12 2 1 1 2 . (6) n n n n T T T V SA EA EA SA    11 2 1 / . (7) t m x x G   2 2 2 22 1 1 1 . (8) a n n m G n n     Cours optique P. Tchofo Dinda 5 III. Eléments cardinaux On définit par éléments cardinaux les éléments caractéristiques du système et de son environnement, permettant de définir la position de l’image d’un objet à travers le système. III.1. Vergence Elle est symbolisée par V et s’exprime en dioptries, notées (ou metre-1). (i) Pour V>0, le système est convergent. (ii) Pour V<0 le système est divergent. (iii) V=0 le système est afocal. III.2. Distances focales La distance focale image du système est définie par La distance focale objet du système est définie par III.3. Plans principaux Ce sont des plans de front conjugués tels que le grandissement transversal Soient 1 2 H et H les intersections de ces plans avec l’axe optique. Recherchons la position de ces points par rapport aux points d’entrée et sortie du système. 1 2 2 1 0 0 1 0 ( ) . 1 1 t t a t G G M H H n V V G V G n                                En effet, 1 2 H et H étant des points conjugués, la relation entre ces deux points est une relation de conjugaison. Par ailleurs, d’après la relation (3), on peut écrire que 2 1 1 2 11 12 11 22 2 1 1 2 1 2 1 22 1 ( ) . V SH EH EH SH T T T T V n n n n M H H EH V V T n                           En identifiant ces deux expressions de 1 2 ( ) M H H on obtient 1 . (11) n f V  2 ' . (10) n f V  1. (12) t G  H1 H2 E S z 2 2 11 11 1 1 22 22 ( 1) '( 1) (13 ) ( 1) ( 1) (13 ) n SH T f T a V n EH T f T b V                 2 11 2 1 22 1 1 1 V SH T n EH V T n             uploads/Geographie/ cours-optique-chap5.pdf