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Chapitre 7 MIROIRS SPHERIQUES I. Relation de conjugaison du miroir sphérique II

Chapitre 7 MIROIRS SPHERIQUES I. Relation de conjugaison du miroir sphérique II. Eléments cardinaux du miroir sphérique III. Constructions géométriques IV. Principe de détermination des éléments caractéristiques d’un système catadioptrique Cours optique P. Tchofo Dinda 1 I. Relation de conjugaison du miroir sphérique Du fait de la symétrie de révolution autour de l’axe optique ntenter d’examiner le problème dans un plan (méridien) défini par les vecteurs on peut se co 1 2 , z u u et u JG JJ G JG J 2 2 . Cela revient à repérer le point d’impact I (du rayon incident sur le dioptre) par sa distance par rapport l’axe optique, que nous noterons x=HI. Dans ce plan (contenant l’axe HI) les vecteurs JG JJ sont repérés par leurs angles inclinaison respectifs, 1 u et u G 1 et α α , par rapport à l’axe optique repéré par z u JJ G . A1 A2 n S I C u2 i1 u1 i2 N z α1 H + x α2 α + R i f R uz n 1 1 ( , ) 0 ( ) z i u u dans R α = > JJ G JG n 2 2 ( , ) 0 ( ) z f u u dans R α = > JJ G JJ G n ( , ) 0 ( ) z i u N dans R α = < JJ G J J G 1 1 1 1 sin 0 ( 0 cos i i R R u avec α α α     = >       JG ) 2 > 2 2 2 2 2 2 sin sin 0 ( 0) 0 ( 0) cos cos i f i f R R R R u avec avec α α α α α α −         = < =         −     JJ G Direction du rayon incident Direction du rayon émergent sin sin 0 ( 0) 0 ( 0) cos cos i f i f R R R R N avec avec α α α α α α −         = < =         −     JJ G > Normale n 1 1 ( , ) i N u = J J G JG et représentent les angles d’incidence et de réflexion. La loi de Snell- Descartes relative à la réflexion s’écrit : n 2 ( , ) i N u = J J G JJ G J 2 2 1 ( ) n u u a N − = ⇒ J G JG J J G Cours optique P. Tchofo Dinda 2 2 1 2 1 2 ( . . ) (cos( ) cos ) (cos cos ) a n u N u N n i i n i i π = − = − − = − + 1 JJ G J J G JG J J G Au premier ordre, on a , car les angles sont très petits en raison de la faible inclinaison des rayons lumineux (approximation de Gauss). Dans la figure précédente, tous les angles ont été fortement grossis par souci de clarté de la figure. Ainsi, avec , on a : 2 a =−n 2 n 1 i et i 2 a =− 2 1 ( ) 2 n u u a N n N − = = − JJ G JG J J G J J G ⇒ Ici, l’approximation de Gauss (rayons peu inclinés par rapport à l’axe) implique que 2 1 2 1 sin sin sin 0 0 2 0 . cos cos cos i f i R R R n n n α α α α α α             − = −                   (1) 1 1 2 sin sin et 2 α α α α ≈ ≈ . Dans cette situation le système d’équations (1) se réduit à l’équation suivante : 2 1 ( ) 2 n n (2) α α α − = − 1 1 1 1 1 1 tan sin , (3 ) HI x x a A H A I A S α α α = ≈ = ≈ ≈ 2 2 2 2 2 2 tan sin , (3 ) HI x x b A H A I A S α α α = ≈ = ≈ ≈ tan sin , (3 ) HI x x c CH CI CS α α α = ≈ = ≈ ≈ Ainsi, l’équation (2) se réduisent à la seule équation qui suit : 2 1 2 . ( x n SC α α − = 4) n n Au point I, on peut donc écrire 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 0 (5) 2 1 2 x x x x n x n n n n n SC SC α α α α =          ⇒ =       = +             Cours optique P. Tchofo Dinda 3 La matrice de réflexion du miroir sphérique s’écrit 1 0 1 0 (6) 2 1 1 m R n V SC       = =     −       où SC est la valeur algébrique du rayon de courbure du miroir sphérique, évaluée dans le repère Ri , où l’axe des z>0 est orienté dans le sens de propagation de la lumière incidente. La vergence du miroir est définie par : 2 (7) n V SC = − Les relations (3) et (4) donnent la relation de conjugaison du miroir sphérique 1 i 2 f 2 1 1 1 2 ( évalué dans R et évalué dans R ) (8 ) SA SA a SA SA SC − = − On peut aussi mettre cette relation sous la forme suivante : la formule de conjugaison d’un dioptre sphérique de ommet S et centre C (voir chapitre III) gaison du miroir sphérique (8b) s’obtient à partir de celle du ioptre sphérique en écrivant : La comparaison entre la relation (8b) et s montre que la relation de conju 1 2 SA SA SC 1 1 2 (toutes les grandeurs évaluées dans le meme répère) (8 ) b + = 2 1 SA SA SC 1 2 1 2 (dioptre sphérique) n n n n − − = d les formules permettant un passage simple du dioptre phérique au miroir sphérique. 1 2 (9) n n et n n = = − Les relations (9) constituent s Cours optique P. Tchofo Dinda 4 II. Eléments cardinaux du miroir sphérique Distances focales * terminer les éléments cardinaux du miroir sphérique, en utilisant les formules de assage (9). istance focale image istance focale objet pérées sur l’axe zz’ dans le sens de propagation de la lumière cidente, sont identiques. Position des foyers Dans le repère Ri orienté dans le sens de propagation de la lumière incidente, on peut facilement dé p D D Les valeurs de f et f’ , re in * Foyer image D’après la relation de conjugaison (8b) 1 2 ' / SA SA SF SC = ∞⇒ = = 2 Foyer objet D’après la relation (8b) 1 2 SA SF SA = ⇒ = ∞ ⇒ 1 . (11) n n f V V = − = − 2 ' (10) n n f V V = = − ' / 2 . (12) SF SC = / 2 . (13) SF SC = Les foyers objet et image d’un miroir sphérique sont confondus, et situés à mi- distance entre le sommet et le centre courbure du miroir. Cours optique P. Tchofo Dinda 5 * Plans et points principaux ( ) ( ) A E SA T T 1 2 1 2 m A E S A →  → → 1 2 A et A R a marche d’un rayon lumineux et la matrice de transfert reliant les points s’écrivent: L 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) m M A A SA R A E = T T D’après les formules (3) et (9) du chapitre 5, on déduit que : es points principaux, 1 1 A H = , 2 2 A H = , sont des points conjugués tels que . Les em : 1 t G = L éléments diagonaux de la matrice (14) conduisent alors aux formules suivantes : 1 22 EH   11 12 22 1 0 1 0 2 1 1 m T T où R n V T V SC     uploads/Geographie/ cours-optique-chap7.pdf