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Chapitre 6 : Variable aléatoire à une dimension Part I Variable aléatoire discr

Chapitre 6 : Variable aléatoire à une dimension Part I Variable aléatoire discrète 1 Déﬁnition Une variable aléatoire X est une fonction déﬁnie sur l’univers Ωet à valeurs dans R, qui à chaque résultat possible (éventualité) e d’une épreuve aléatoire, associe un nombre réel X (e) = x X : Ω → R e 7→ X (e) = x Une variable aléatoire est toujours notée par une majuscule : X, Y, . . . Les valeurs que peut prendre une variable aléatoire sont représentées par une minuscule : x, y, ... Une variable aléatoire est dite discrète si l’ensemble des valeurs prises par X est un ensemble ﬁni X (Ω) = {x1, x2, . . . , xk} ou un ensemble inﬁni dénombrable X (Ω) = {x1, x2, . . . , xk, . . .} X (Ω) est appelé domaine ou support de X, c’est l’ensemble des valeurs possibles de X Exemples : 1) On tire une carte d’un jeu de 32 cartes (Ω= {as, roi, dame, valet, 10, 9, 8, 7}). Soit X la variable aléatoire qui associe à la carte tirée une valeur numérique suivant la règle du jeu de belote (l’atout n’est pas pris en compte) : 11 pour un as, 4 pour un roi, 3 pour une dame, 2 pour un valet et 0 pour les cartes qui portent les numéros 7,8 et 9. Ω X ( ) X Ω : : As Roi Dame Valet 10 9 8 7 11 4 3 2 10 0 j x i e On obtient X (Ω) = {0, 2, 3, 4, 10, 11} , qui est un ensemble ﬁni, donc X est une variable aléatoire discrète. 2) Soit l’expérience qui consiste à jeter 2 fois une pièce de monnaie et soit X la variable aléatoire déﬁnie par le nombre de Piles obtenues. Ω= {(P, F) , (P, P) , (F, P) , (F, F)} Ω X ( ) X Ω : : (P,P) (P,F) (F,P) (F,F) 2 1 1 0 j x i e L’ensemble des valeurs possibles de la variable aléatoire X est donc : X (Ω) = {0, 1, 2} X est une variable aléatoire discrète qui peut prendre les valeurs 0, 1 et 2. 1 2 Loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète Soit X une variable aléatoire discrète dont l’ensemble des valeurs possibles est donné par X (Ω) = {x1, x2, . . . xi, . . . , xk} . Associer à chacune des valeurs possibles de X la probabilité qui lui correspond, c’est déﬁnir la loi de probabilité (ou distribution de probabilité) de la variable aléatoire X. A toute valeur possible xi de la variable aléatoire X, on fait correspondre un nombre Pi, compris entre 0 et 1, déﬁni par : Pi = P(X = xi), i : 1 . . . k avec Pi ≥0 et k P i=1 Pi = 1 2.1 Déﬁnition La loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète est déﬁnie par l’ensemble des couples (xi, Pi) : X : x1 x2 . . . xi . . . xk Pi = P(X = xi) : P1 P2 . . . Pi . . . Pk Parfois cette liste de valeurs caractérisant un tableau de distribution d’une variable aléatoire peut être résumée par une formule mathématique. Si c’est le cas, la loi de probabilité sera déﬁnie par une fonction : f : X (Ω) − → [0, 1] x 7− → f (x) = P(X = x) Suite de l’exemple 2 : Reprenons l’exemple qui consiste à jeter 2 fois une pièce de monnaie. La variable aléatoire X est déﬁnie par "le nombre de piles obtenus". X peut prendre les valeurs 0,1 et 2 (X (Ω) = {0, 1, 2}) Pour déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X, il suﬃt d’associer, à chacune des valeurs possibles de X, la probabilité correspondante : P1 = P(X = 0) = P ({(F, F)}) = 1 4 P2 = P(X = 1) = P ({(P, F) , (F, P)}) = 1 2 P3 = P(X = 2) = P ({(P, P)}) = 1 4 La loi de probabilité de X est donnée par X : 0 1 2 Pi = P(X = xi) : 1 4 1 2 1 4 avec P x∈X(Ω) P(X = x) = 1 2.2 Représentation graphique de la distribution d’une variable aléatoire discrète La représentation graphique de la loi de probabilité dans le cas discret se fait à l’aide d’un diagramme en bâtons 3 Fonction de répartition 3.1 Déﬁnition Soit X une variable aléatoire discrète, la fonction de répartition, notée F, de la v.a X est une fonction positive non décroissante, déﬁnie par : F : R − → [0, 1] x 7− → F (x) = P (X < x) = P xi<x P (X = xi) F (x) = P (X < x) : indique la probabilité que la v.a X prenne une valeur strictement inférieure à x. 2 3.2 Formulation de la Fonction de répartition D’une manière générale, soit X une variable aléatoire discrète déﬁnie par sa loi de probabilité : X : x1 x2 . . . xi . . . xk Pi = P(X = xi) : P1 P2 . . . Pi . . . Pk , avec k P i=1 P (X = xi) = 1 La formulation de la fonction de répartition de X est donnée par : F (x) = P (X < x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 si x ≤x1 P1 si x1 < x ≤x2 P1 + P2 si x2 < x ≤x3 . . . . . . . . . P1 + P2 + · · · + Pi−1 si xi−1 < x ≤xi . . . . . . . . . P1 + P2 + · · · + Pk−1 si xk−1 < x ≤xk . . . . . . . . . k P i=1 Pi = 1 si x > xk 3.3 Représentation graphique de la fonction de répartition La représentation graphique de la fonction de répartition d’une v.a discrète est une courbe en escalier 1 x ( ) F x 1 P X 1 2 x 3 x i x 1 i x + k x 1 2 P P + ) ) ) ) ) 1 1 i j j P − = ∑ 1 i j j P = ∑ Application à l’exemple 2 : F (x) = P (X < x) = ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 0 si x ≤0 1 4 si 0 < x ≤1 3 4 si 1 < x ≤2 1 si 2 < x ≤3 0 ( ) F x X 1 1 2 3 4 ) ) ) 1 4 - Calculer F (1, 5)? 3 F (1, 5) = P (X < 1, 5) = P (X ≤1) = P (X < 2) = P (X = 0) + P (X = 1) = 1 4 + 1 2 = 3 4 - Déterminer la probabilité que la variable aléatoire X prenne une valeur strictement supérieure à 0, 5 et inférieure ou égale à 1, 2? P (0, 5 < X ≤1, 2) = P (X ≤1, 2) −P (X ≤0, 5) = P (X < 2) −P (X < 1) = F (2) −F (1) = 1 2, ou encore P (0, 5 < X ≤1, 2) = P (X = 1) = 1 2 3.4 Propriétés de la fonction de répartition 1. ∀x ∈R, 0 ≤F (x) ≤1 2. La fonction de répartition représente des probabilités cumulées croissantes. Partant de la déﬁnition de la fonction de répartition, on peut déﬁnir les probabilités cumulées décroissantes : G (x) = P (X ≥x) = P xi≥x P (X = xi) = 1 −P xi<x P (X = xi) = 1 −P (X < x) = 1 −F (x) 3. La fonction de répartition est une fonction non décroissante (c.-à-d. croissante au sens large) : Soit x et x0 deux réels tels que x > x0 alors F (x) ≥F (x0) ( ) F x X 1 1 x 3 ( ) F x ) ) 2 x 3 x 2 ( ) F x ' x ) x x 4. ∀xi ∈X (Ω) , F est continue à gauche de xi Ã lim x→x− i F (x) = F (xi) ! mais pas à droite Ã lim x→x+ i F (x) = F (xi+1) ! 5. La connaissance de la fonction de répartition nous permet de déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire discrète : On a F (xi) = P (X < xi) = i−1 P j=1 P (X = xj) = P (X = x1) + P (X uploads/Geographie/ cours-stat2-kharrat.pdf