Picchione Serge 2014-2015 GÉOMÉTRIE 2ème année 3.1 Trigonométrie dans un triang

Picchione Serge 2014-2015 GÉOMÉTRIE 2ème année 3.1 Trigonométrie dans un triangle quelconque 1 3.1.1 Introduction 1 3.1.2 Rappels 2 3.1.3 Théorèmes relatifs aux triangles quelconques 4 3.1.4 Calcul d’aires 10 3.1.5 Ce qu’il faut absolument savoir 17 3.1.6 Questionnaire à choix multiples 17 3.2 Géométrie analytique 18 3.2.1 Points, distances 18 3.2.2 Cercles 21 3.2.3 Droites 23 3.2.4 Droites remarquables du triangle 27 3.2.5 Intersection d’une droite avec un cercle 32 3.2.6 Équation de la tangente à un cercle passant par un point du cercle 34 3.2.7 Intersection de deux cercles 35 3.2.8 Ce qu’il faut absolument savoir 38 3.2.9 Questionnaire à choix multiples 38 3.3 Solutions des exercices 39 Picchione Serge 2014-2015 AVANT-PROPOS • Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de Genève en deuxième année, en géométrie. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres filières d’enseignement. • Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des exercices, des activités et des Q.C.M. à l’exception de ceux faisant intervenir des démonstrations. • Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré blanc et les théorèmes dans un encadré grisé. • Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer aux sections : « Ce qu’il faut absolument savoir » et « Questionnaire à choix multiples ». • Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante : http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione • Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter. BON TRAVAIL ! ________________________________________________________________________________ P.S. / 2014-2015 1 Géométrie / Trigonométrie / 2 N-A 3.1 Trigonométrie dans un triangle quelconque 3.1.1 Introduction La trigonométrie (du grec trigônon triangle et metron mesure) était à l'origine l'art de préciser uniquement par le calcul les informations absentes. Avec suffisamment d'informations, la trigonométrie nous permet de calculer la longueur des côtés et les angles d'un triangle préalablement défini. Pourquoi des triangles ? Parce que ce sont les figures de base qui permettent de construire toutes les autres formes ayant des côtés rectilignes. Un polygone (carré, rectangle trapèze, pentagone, hexagone, etc.) peut être « divisé » en plusieurs triangles, en menant des lignes droites d'un sommet à tous les autres. Pour étudier les relations trigonométriques dans un triangle quelconque on a besoin de connaître les relations trigonométriques dans un triangle rectangle. En effet, on constate facilement que tout triangle quelconque peut être "décomposé" en deux triangles rectangles. Commençons donc par un rappel sur les relations de bases dans un triangle rectangle ! T1 T2 ________________________________________________________________________________ P.S. / 2014-2015 2 Géométrie / Trigonométrie / 2 N-A 3.1.2 Rappels Définition Un triangle (quelconque) est un polygone à trois côtés. Triangles particuliers • Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. • Un triangle isocèle est un triangle qui possède au moins 2 angles égaux (⇔ 2 côtés égaux). • Un triangle équilatéral est un triangle qui possède 3 angles égaux (⇔ 3 côtés égaux). Théorème de la somme des angles d’un triangle hypothèse conclusion Dans un triangle la somme des angles vaut 180°. 180 α +β + γ = D   Démonstration i) On trace deux droites parallèles d et d’. ii) On a : δ + γ + ε = 180° Angle plat. iii) On a : α = δ et β = ε Angles alternes-internes. ⇒ α + γ + β=180° (fin de la démonstration) Définition Un quadrilatère est un polygone à 4 côtés (carré, rectangle, trapèze, etc.). Corollaire hypothèse conclusion Dans un quadrilatère la somme des angles vaut 360°.   Démonstration En exercice. Relations métriques dans un triangle rectangle Considérons un triangle ABC, rectangle en C avec des cotés de longueurs a, b et c. Théorème de Pythagore Si un triangle est rectangle alors la somme des carrés des cathètes est égale au carré de l’hypoténuse. + = 2 2 2 a b c Démonstration Voir cour de 1ère année du Collège. b c a A B C d d’ ε α β γ δ ________________________________________________________________________________ P.S. / 2014-2015 3 Géométrie / Trigonométrie / 2 N-A Les rapports trigonométriques dans le triangle rectangle À partir du triangle ABC rectangle en C, on définit les relations suivantes : ( ) ( ) ( ) 1 1 1 a a sin sin sin_opp_hyp >> c c b b cos cos cos_adj_hyp >> c c a a tan tan tan_opp_adj >> b b α α α α α α − − − ⎛ ⎞ = ⇔ = << ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇔ = << ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = ⇔ = << ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Activité 1 a) Calculer la hauteur h de l'arbre sachant que la personne mesure 1,80 m. b) On connaît x = 10 m et d = 60 m. Calculer l'angle θ. (le triangle PQR est isocèle en R) b α c a A B C β h 50 m 20° R • ________________________________________________________________________________ P.S. / 2014-2015 4 Géométrie / Trigonométrie / 2 N-A 3.1.3 Théorèmes relatifs aux triangles quelconques Il est possible d'étendre l'utilisation de la trigonométrie aux triangles quelconques c'est-à-dire aux triangles ne possédant pas forcément un angle droit grâce aux théorèmes suivants : a) Le théorème du sinus. b) Le théorème du cosinus. a) Le théorème du sinus Considérons un triangle quelconque ABC avec des cotés de longueurs a, b, c dont les 3 angles qui ont pour valeurs α, β, γ sont aigus. Remarque : + + = ° 180 α β γ . Alors on a : sin( ) sin( ) sin( ) a b c α β γ = = Exemple Résoudre le triangle ABC, connaissant = ° = ° = 48 , 57 et b 47. α γ • Étant donné que la somme des angles d’un triangle vaut 180°, = ° − ° − ° = ° 180 48 57 75 β . • Utilisons maintenant le théorème du sinus pour calculer a : ⋅ ⋅ = ⇔ = = ≅ sin( ) sin( ) b sin( ) 47 sin( 48 ) a 36 a b sin( ) sin(75 ) α β α β D D • Ensuite, avec le théorème du sinus, calculons c : ⋅ ⋅ = ⇔ = = ≅ sin( ) sin( ) b sin( ) 47 sin( 57 ) c 41 b c sin( ) sin(75 ) β γ γ β D D Remarque : Résoudre un triangle, c'est calculer la mesure de ses côtés et de ses angles. Démonstration • Construisons dans le triangle quelconque précédent la hauteur hc issue du sommet C, coupant le côté c en un point H. • On obtient deux triangles rectangles en H. • On a : ⎫ ⇒ = ⋅ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = ⇒ = ⋅ ⎪ ⎭ c c c c h sin( )= h b sin( ) b h sin( ) h a sin( ) a α α β β ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = sin( ) sin( ) b sin( ) a sin( ) a b α β α β • En faisant le même raisonnement pour une autre hauteur (hA ou hB), on obtient les égalités manquantes. C A B a b c α γ β C A B a b c hc H α γ β ________________________________________________________________________________ P.S. / 2014-2015 5 Géométrie / Trigonométrie / 2 N-A Remarques a) ( ) ( ) ( ) = = = ⇒ = 1 sin 90 sin a Si 90 alors sin a c c α γ α D D   On retrouve la définition du sinus dans le triangle rectangle ! b) La démonstration du théorème du sinus, dans ce cours, est présentée avec un triangle ayant 3 angles aigus. Si on considère un angle obtus, on obtient les mêmes relations qu'avec 3 angles aigus. c) La connaissance de ( ) sin α ne permet pas de déterminer α de manière unique, puisque deux angles supplémentaires ont même sinus. Autrement dit : ( ) ( ) ° − = sin 180 sin α α . Il faudra donc être prudent lors de l'utilisation du théorème du sinus, en envisageant toutes les solutions. Exemple Théorème du sinus : ( ) ( ) ° = sin 50 sin 7 6 γ ( ) ( ) ( ) ° − ° ⋅ ⇔ = ⇔ = ≅ = − ≅ 1 6 sin 50 sin sin 0.657 41 ou 180 41 139 7 γ γ uploads/Geographie/ d1-college-geometrie-2-n-a-2014-2015.pdf

Tags
Administrationtriangle cercle point géométrie droite
Documents similaires
  • 25
  • 0
  • 0
Afficher les détails des licences
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise
Partager