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LYCEE PILOTE MONASTIR **** DEVOIR DE CONTROLE N°1 ÿ ÿÿA PROFESSEUR : IW Kamel H

LYCEE PILOTE MONASTIR **** DEVOIR DE CONTROLE N°1 ÿ ÿÿA PROFESSEUR : IW Kamel HASSEN SECTION : 2eme année sciences EPREUVE : MATHEMATIQUES © Durée : 1heure. Date : 17/ 10/2006 EXERCICE 1 (5 points) 1. a- Déterminer l'ensemble D des réels x pour lesquelles l'expression A = ÿ +x +ÿ x a un sens. Vu© — Vi — b- Démontrer que pour tout x de D, on a : A = î+Vï© 2. a- Montrer que 1 1 k(k +l) k k+1 où k est un nombre entier non nul. b- En déduire que pour tout n e N*, on a: +J_ +_L + 2 6 12 n n(»+l) 77 +1 EXERCICE 2 (4 points) 1. Comparer 1+© et ÿ4+2© 2. a- Soient a et b deux réels positifs. Montrer que a+b > 2 Jab b- En déduire que pour tous a, b et c réels positifs, on a: ( a+b) (b+c )( c +a)> 8 abc EXERCICE 3 (il points) Soit (o, }, "j ) un repère orthonormal et A, B, C les points de coordonnées respectives (-2, 3), (7, 0), (2, -5) 1. Soit D le projeté orthogonal du point B sur la droite (AC) et HTorthocentre du triangle ABC. a- Le vecteur AC est nonnul, donc ilexiste un nombre k tel que AD - k AC . Exprimer les coordonnées du point D en fonction de k. b- Déterminer k,puis calculer les coordonnées du point D. c- Utiliser, d'une part, l'alignement des points B,D,H et d'autre part, l'orthogonalité des vecteurs AB et CH pour calculer les coordonnées du point H. 2. Soit E le projeté orthogonal du point Hsur la droite (BC) et F l'image du point Hpar la symétrie d'axe (BC). Calculer les coordonnées des points E et F. 3. On note (x, y) les coordonnées du centre I du cercle circonscrit au triangle ABC. a- Exprimer AI2, BI2 et CI2 en fonction de x et y. b- Déterminer les coordonnées du point I. 4. Montrer que le point F est sur le cercle circonscrit au triangle ABC. Ttd»5 ItS mjU voirtft ieirî hs LYCEE PILOTE MONASTIR **** DEVOIR DE CONTROLE N°2 PROFESSEUR : M' Kamel HASSEN SECTION : 2eme année sciences EPREUVE : MATHEMATIQUES © Durée : 1heure. Date : 14 / 11/ 2006 N.B : >& il sera donné une grande importance à la rédaction et à la présentation de la copie EXERCICE 1 1. a- Résoudre dans IR,l'équation : x" - 3x + 2 = 0. b- En déduire la résolution de l'équation : x — 3 Vx +2—0 2. Soit l'équation (E): x2 - V3 x - 2 = 0 a- Sans calculer le discriminant A, montrer que (E) admet deux racines distinctes x' et x". b- Sans calculer les racines x' et x", calculer l'expression suivante :F = x'2 + x'x" + x"2. EXERCICE 2 Le cercle Ç est de centre O et de rayon 1. On trace une corde [AB] de longueur 2a (0 < a < 1),puis on marque le point I,milieu de [AB], et le point M, comme indiqué sur la figure (le triangle MAB est donc isocèle en M). On pose x =MA = MB. M 1. Montrer que X' a 1 (*) 2. Pour quelle valeur de a, x = 2a est une racine de ( E ). 3. On prend a = . Résoudre l'équation ( E ). 8 EXERCICE 3 Soit ABC un triangle du plan. Lepoint A' milieu du côté [BC] et Munpoint variable de ce plan. 1. a- Construire le point E barycentre de (A, 2) et (C, 1) b- Soit le pointI milieu du segment [AA']. Montrer que : 2 IA + IB + IC ' = 0 . c- Endéduire que les points B, 1et E sont alignés. 2. Montrer que 2MA — MB — MC - —2 AA\ 3. Montrer qucMA + MB + MC=3 MG où le point G centre de gravité du triangle ABC. 4. Déterminer l'ensemble des points Mdu plan vérifiant : MA + MB + MC = 2 MA - MB - MC ,veVo|r.tn Its melius, «uihs LYCEE PILOTE MONASTIR **** DEVOIR DE SYNTHESE N°1 ÿ AAA PROFESSEUR : IW Kamel HASSEN SECTION : 2eme année sciences EPREUVE : MATHEMATIQUES © Durée :2 heures. Date : 06 / 12 / 2006 EXERCICE 1 2 1. Soit P le polynôme défini par: P(x) = x - 5x + 4. a- Résoudre dans 1R, l'équation P(x) = 0 b- Déterminer le signe de P(x). c- Résoudre dans IR, l'inéquation |.P(x)| < x -1 2. Soit Q le polynôme défini par : Q(x) = x3 - 7x2 + 14x - 8 a- Factoriser x - 8 puis déduire que Q(x) = (x - 2) P(x). b- Déterminer le signe de Q(x). c- Résoudre dans IR, l'inéquation A/()(x) > x-2 EXERCICE 2 r ÿ O Soit fia fonction définie par : /(r \ — x ~x~ _ ' ~ (x2 — l)(x+2) 1. Déterminer le domaine de définition Df de la fonction f. 2. Simplifier f(x). 3. Résoudre dans IR,l'inéquation f(x) > 0. EXERCICE 3 Le grand carré est de côté 1. Trouver la largeur x (constante) de la bande grise, sachant qu'elle a la même aire que celle du carré intérieur. EXERCICE 4 On considère un triangle ABC rectangle en A, I = A * C et J = A * B. 1/ 1. Construire le point E le barycentre de (A, 2) et (C, 1). 2. Déterminer l'ensemble des points Mdu planvérifiant : 2 MA + MC = MA - MB II/ 1. Peut- on trouver un réel x tel que le point G soit le barycentre des points pondérés (A, x2 - 2), (B, x-3) et (C, x-1). 2. On donne x = 2, alors G est le barycentre des points pondérés (A, 2), (B, -1) et (C, 1) a- Montre que G est le barycentre de (E, 3) et (B, -1). b- Construire le point G. 3. Montrer que les vecteurs GI et AB sont colinéaires. 4. En déduire que AJIG est un parallélogramme. 5. Déterminer l'ensemble des points Mdu plan vérifiant : 2 MA - MB + MC MA + MC ,veVo|r.tn fts incurs, «uihs nfvt-wx,. LYCEE PILOTE MONASTIR **** DEVOIR DE CONTROLE N°3 ÿ ÿÿA PROFESSEUR : IW Kamel HASSEN SECTION : 2eme année sciences EPREUVE : MATHEMATIQUES © Durée : 1heure. Date : 23 / 01 / 2007 EXERCICE 1 1. a- Déterminer le reste de la division euclidienne par 11 de l'entier 2041920647. b- Trouver les chiffres a et b pour que l'entier 51a72b soit divisible par 5 et 11. 2. a- Démontrer que la somme de deux nombres impairs consécutifs est divisible par 4. b- Montrer que si n est entier naturel pair, le nombre n(n2 + 4) est divisible par 8. 3. Soit x un entier naturel nonnul. a- Montrer que x et x + 1 sont premiers entre eux. b- En déduire le pgcd et le ppcm de x + 1 et 2x + 1. EXERCICE 2 A et B sont deux points distincts du plan, G le barycentre de (A, 2) et (B, 3). / :P —»• p Soit l'application Mh>M' tel que 4 MM' = 2 MA +a MB 1 a e IR 1. Si a = - 2, Montrer que f est une translation de vecteur — AB 2 2. Si a = 3, a- Montrer que G est invariant par f. b- Monter que f est Thomothétie dont on déterminera le centre et le rapport. EXERCICE 3 La figure ci-contre représente un carré ABCD dont les côtés mesurent 4cm et un carré BEFG dont les côtés mesurent 2cm. Les droites (CF) et (AB) se coupent en I. 1. Déterminer le nombre k tel que IB= kIA 2. Soit h l'homothétie de centreI et le rapport — 2 a- Montrer que h(C) = F et h(B ) = E. b- Déterminer L l'image de G par l'homothétie h. c- Exprimer BG en fonction de AD d- Déterminer l'image de D par l'homothétie h. 3. Montrer que les points I,L, G et D sont alignés. îtd»5 ItS mjli voîrtft ieirî ta LYCEE PILOTE MONASTIR **** DEVOIR DE CONTROLE N°4 ÿ ÿÿA PROFESSEUR : M' Kamel HASSEN SECTION : 2eme année sciences EPREUVE : MATHEMATIQUES © Durée : 1heure. Date : 13 / 02 / 2007 EXERCICE 1 On considère la suite (Un) définie sur INpar J 1 ,- -- [Un+l = -Jl/n2+2 1. Calculer Ui et U2 puis vérifier que (Un) n'est pas une suite arithmétique. 2. OnposeVn=U; a- Montrer que ( Vn ) est une suite arithmétique de raison 2. b- Exprimer Vn en fonction de n. En déduire Un en fonction de n. c- Calculer la somme S = Vo +Vi+........... + Vn_i en fonction de n. 2ÿ0 1ÿ2 O X z z ÿ V 3. Soit (Wn) la suite définie sur INpar Wn =2 a- Montrer que (Wn) est une suite géométrique de premier terme Wo = 2 et de raison 4. uploads/Geographie/ devoir-de-controle-n01-pilote-2eme-science.pdf