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Exercice 1 : On tire successivement sans remise deux boules au hasard d’une urn

Exercice 1 : On tire successivement sans remise deux boules au hasard d’une urne contenant 8 boules balnches, 4 boules noires et 2 boules rouges . supposons que l’on reçoive 28 pour chaque boule noire tirée et que l’on perde 18 pour chaque boule blanche tirée si on désigne les gains nets par X, quelles sont les valeurs possibles pour X et les probabilités associés à ces valeurs ? Exercice 2 : 1 . Une variable statistique X prend les valeurs 0 ,1 et 3 .déterminer la distribution en fréquence de x (sous forme de tableau) sachant que : la moyenne de cette variable est 1 et sa variance est 1/2 . 2. Un enseignant a corrigé des copies. Il obtient une moyenne de 7 et un écart de type de 3.5 . Quelle transformation linéaire doit-il appliquer aux notes pour obtenir une moyenne de 10 et un écart type de 2.5 . 3. On a calculé la moyenne et la variance d'une série statistique X de 10 observations et on a obtenu les résultats suivants ´ x=5,9s 2 (x )=4,83 On a constaté ultérieurement qu'une des observations initiales avait été écrite de façon erronée : la valeur considérée au cours des calculs était 8.5 alors que la valeur exacte est en réalité 6,5 Calculez la moyenne et la variance exactes recalculées sur les données corrigées. Exercice 3 : Une boite contient 20 objets , dont 4 sont défectueux . un échantillon de 3 objets est choisi au hasard dans cette boite . calculer l’espérance et la variance du nombre d’objets défectueux dans l’échantillon. Exercice 4 : La probabilité d’observer une maladie dans une population est p=0,1 et la maladie peut etre détectée sans erreur par un dosage sanguin. On souhaite déterminer par ce dosage le nombre de personnes malades sur un échantillon de 100 personnes. Mais au lieu de tester le sérum de chaque individu, on partitionne au hasard les 100 personnes en 10 groupes de 10 personnes dont on mélange les sérums. Si le test est négatif, sur l’un de ces mélanges, on considère que les 10 personnes correspondantes sont toutes négatives et l’on est ainsi dispensé des 10 tests individuels. Si au contraire, le test est positif, c’est qu’alors au moins une personne est atteinte de la maladie et il faut tester séparément chacun des 10 sérums ayant participé au mélange, on doit donc, dans ce cas, effectuer 11 tests 1 Trouver les probabilités pour que dans un groupe, on observe : (a) aucune personne malade . (b) au moins une personne malade. 2 En désignant par N le nombre total de tests à effectuer avec cette méthode de partition des 100 personnes. (a) Préciser l’espace N(Ω), determiner la loi de N . (b) Calculer le nombre moyen de tests E(N) et la variance du nombre des tests V ar(N). Exercice 5 : Une piéce est jetée jusqu’à ce que pile sorte . supposons que lors de chaque jet, la probabilité d’obtenir pile est P , où p ∈ [0 ; 1] . les resultats sont supposés indépendants . soit T le premier jet pour lequel pile sort . a) Donner la loi de la probabilite de la variable aléatoire T . b) Montrer que la variable aléatoire T n’a pasde mémoire , c'est-à-dire : P(T ≥ n0 ÷ n │T ˃ n0) =P(T ≥ n) (n ≥ 1) Exercice 6 : On tire simultanément et au hasard n boules dans une urne contenant N boules blaches et M boules noires. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de boules blanches tirées a) Donner la loi de X b) Montrer que E(X) = nN N + M et Var(X)= nNM (N+M ) 2 …… Exercice 7 : Le nombre de visiteurs par jour d’une exposition est une v a suivant la loi de poisson de paramètre 1000 1. Quel est le nombre moyen de visiteurs un jour donné ? 2. On suppose qu’il y’ait 10 entrées possible pour cette expositon et que chaque entrée est équiprobable (entrée E1,…..,entrée En) quelle est la probabilité qu’un visiteurs quelconque entre par une entrée donnée ? 3. Un visiteur sur 10 entre sans payer. Quel est le nombre moyen de visiteurs qui payent à la caisse E1 ? 4. Quel est la variance du nombre de visiteurs payant ? Exercice 8 : On donne la série statistique unidimensionnelle suivante, correspondant à la répartition d'une population d'entreprises en fonction de leurs chiffres d'affaire en millions de dirhams . Chiffres d’affaire Moins de 0,25 [0,25 ; 0,5[ [0,5 ;1[ [1 ;2,5[ [2,5 ;5[ [5 ;10[ Nombres d’entreprises 137 106 112 154 100 33 1. Calculer le chiffre d'affaire moyen et l'écart-type de la série . 2. Construire l'histogramme des fréquences . 3. Construire le polygone des fréquences cumulées croissantes . 4. Calculer la médiane et la proportion d'entreprises dont le chiffre d'affaire est supérieur à 3 millions de dirhams . Exercice 9 : Un statisticien étudie la distribution des salaires horaires des employés d'une entreprise . Il dispose de la distribution des effectifs suivante : Salaire [20,5 ;25,5 [ [25,5 ;30,5 [ [30,5 ;35,5 [ [35,5 ;40,5 [ [40,5 ;45,5 [ [45,5 ;50,5[ [50,5 ;55,5 [ Total Effectif n1 16 18 20 16 12 n7 n Ce document est incomplet car ,à la suite d'un incident ,les effectifs de la 1 ére et de la dernière classe sont illisibles . Il décide de les noter provisoirement n1 et n7. Heureusement , il dispose des deux informations supplémentaires suivantes : x =36 et x 1/2 = 36 (médiane) 1. Calculer le centre de chaque classe .Exprimer les fréquences et les fréquences cumulées en fonction de n1 ,n7et n 2. Exprimer la médiane en fonction de n1 et n7 et en déduire . 3. Donner l'expression de la moyenne en fonction de n1 et n7 . 4. En deduire les valeurs de n1 et n7 et n. Exercice 10: L'épreuve orale de statistique et probabilité est formé de 3 sujets tirés au sort parmi 80 sujets portant sur ce cours . L'étudiant doit traiter un des sujets de son choix . 1. Combien d'éprouves différentes peut-on organiser ? 2. Un candidat se présente en n'ayant révisé que 50 sujets . Quelle est la probabilité pour qu'il puisse traiter : 2. a) Les 3 sujets b) seulement deux sujets c) seulement un seul sujet d) aucun suje 3. Combien de sujets un étudiant doit-il réviser pour avoir une probabilité au moins égale à 0.99 de répondre au moins à un sujet ? (Indication :calculer les valeur ∁k 3pour k=4,5...). Exercice 11: Kamal a une urne A contenant 10 % de boules banches; Amina a une urne B contenant une proportion p de boules .chacun tire une boule à tour de rôle de son urne (en la remettant dans l'urne après). Kamal commence le jeu .le jeu s'arrête quand l'un des joueurs tire une boule blanche et il est alors gagnant du jeu . 1. Quelle est la probabilité que Kamal gagne le jeu au première tour ?au 2 émetour ?au nième tour ? 2. Quelle est la probabilité que Kamal gagne le jeu ?qu'Amina gagne le jeu ? 3. Déterminer la valeur de P pour que le jeu soit équitable. Exercice 12: Soit a∈]0,2 3 [ un nombre réel . Dans une bourse de valeurs, un titre donné peut monter, rester stable ou baisser Dans un modèle mathématique ,on considère que : • Le premier jour le titre est stable • Si un jour n le titre monte , le jour n+1 ; il montera avec probabilité 1-2a ,restera stable avec probabilité a et baissera avec probabilité a. • Si un jour n le titre baisse , le jour n+1 il montera avec probabilité a ,reste stable avec probabilité 1- 2a et baissera avec probabilité a . • Si un jour n le titre baisse , le jour n+1 il montera avec probabilité a ,restera stable avec probabilité a et baissera avec la probabilité 1-2a On note Mn (resp Sn,resp Bn) et rn =P(Bn) 1. Ecrire rn en fonction de Pn et qn. 2. Expliciter pn+1 en fonction de n. 3. En déduire Pn en fonction de n. 4. Donner la limite de cette suite et interpréter le résultat. (Note :une suite (Un) arithmético-géométrique vérifiant : Un+1 = aUn+b peut être transformée en suite géométrique (Vn) par la transformation Vn=Un-⍺ avec ⍺ = b 1−a). Exercice 13 : Un statisticien veut faire remplir un formulaire d'enquête par les personnes qui arrivent dans une administration . le nombre de personnes X qui arrivent est une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre ⍺. Soit p la probabilité qu'une personne ainsi contactée remplisse le formulaire. On note Y le nombre total de formulaire remplis ainsi . 1. Soient j et k deus entiers ,calculer p(Y=j |X=k). 2. En déduire la loi de Y. Exercice 14 : Soit X une variable aléatoire à valeurs dans ℕ , de loi de probabilité donnée par la uploads/Geographie/ proba.pdf