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MINISTERE DE L'EDUCATION LYCEE SECONDAIRE NATIONALE DIRECTION REGIONALE DE MANO

MINISTERE DE L'EDUCATION LYCEE SECONDAIRE NATIONALE DIRECTION REGIONALE DE MANOUBA Devoir de Synthèse N° 2 Mathématiques #? Classes :Deuxième sciences 1+2 OUED ELLIL ANNEE SCOLAIRE 2012 - 2013 Prof :Mr Bellassoued iillll Durée :deux heures nni Date:mars 20 13 EXERCICE 1:3 points :Cocher la case correspondante dans la feuille annexe bareme Choisir sans justification labonne réponse pour chaque question: 1- La suiteUn = 5 x 32n est une suite géométrique de raison :a) q= 5 ;b) q = 3 ;c) q =9 2- Le reste de la division euclidienne de 376987 par 11est: a) r = 6 ;b) r = 5 ; c)r = 0 3- Soit ne N. si d = P.G.C.D(n+ l,2n+ 3),alors d est égale a: a) d = 1;b) d = 2 ;c) d = n EXERCICE 2: 2,5 points 1- Effectuer la division euclidienne du nombre 2017 par 6 2-Soit p unnombre premier supérieur a 3 a- Montrer que les restes possibles de la division euclidienne de p par 6 sont 1et 5 b~ En déduire que p2 + 5 est divisible par 6 EXERCICE 3: 6 POINTS On définit une suite (Un)n>0 par : U0 =6 et Un+1=3Un -8 1-a- Vérifier que Uj = 10 et U2 = 22 b- En déduire que la suite Unn'est niarithmétique, nigéométrique . 2~On définit la suite (Vn)n>0 par Vn = Un -4. Montrer que la suite Vnest géométrique de raison 3.Calculer V0 3~En déduire l'expression de Vnpuis celle de Unen fonction de n 4-a-Calculer en fonction de n la somme Sn = V0 + V, + +Vn. b~En déduire en fonction de nla somme Tn = U0 +Uj + +Un EXERCICE 4: 8,5 points / les constructions géométriques seront complétés dans lafeuille annexe Dans la figure 1si contre on a : 'W le cercle de centre O et de diamètre [AD] circonscrit au triangle ABC .I milieu de [BC] •On désigne par h l'homothétie centre A et de rapport 2 _A 1-Construire le point E = h(B) et le point F = h(C) 2- a-Déterminer l'image de O par h.Justifier ta réponse b-K est le projeté orthogonal de D sur (EF) Montrer que l'image de (IO)par h est la droite (DK) 3- a~Montrer que h(I) = K b-On déduire que ABKC est un parallélogramme . 4- a-Construire le cercle 9"' image de 9*par h .préciser son centre b-Montrer que le cercle 9ÿ ' est circonscrit au triangle AEF figure1 5-On désigne par hi l'homothétie de centre C tel-que hj(B) =I a-Donner le rapport de hi b~On suppose que A et C sont fixes et B varie sur le cercle 9C Déterminer et construire l'ensemble Ci décrit par le pointI. 6- a-Déterminer et construire l'ensemble C2 décrit par le point K lorsque B varie sur 9* b~On désigne par tÿ la translation du vecteur AC .Montrer que tÿ (9')=h(Ci) 0,5 0,5 1,5 0,5 0,75 0,5 0,5 0,5 0,75 fi m Nom FEUILLE ANNEXE Prénom Classe :2ième se EXERCICE 1: mettre un croix dans la case correspondante . PROPOSITION a b C l-La suiteUn = 5 X 32nest une suite géométrique de raison : q =5 q = 3 q = 9 2-Le reste de la division euclidienne de 376987 par 11est : r = 6 r = 5 r = 0 3~Soit ne N;si d = P.G.C.D(n+ l,2n+ 3), alors d est égale a : d = 1 d = 2 d = n exercice 4: Compléter les constructions géométriques D MINISTERE DE L'EDUCATION LYCEE SECONDAIRE NATIONALE DIRECTION REGIONALE DE MANOUBA Correction du Devoir de Synthèse N° 2 OUED ellil ANNEE SCOLAIRE 2012 - 2013 Mathématiques "S? Classes :Deuxième sciences 1+2 Prof :Mr Bellassoued iillll nni Date:mars 20 13 Correction de l'exercice 1 PROPOSITION a b c l~La suiteUn = 5x 32nest une suite géométrique de raison : q =5 q = 3 q = 9 ÿH X 2-Le reste de la division euclidienne de 376987 par 11est : r = 6 r = 5 r = 0 X 3~Soit ne N;si d = P.G.C.D(n+ l,2n+ 3), alors d est égale a : d = 1 d = 2 d = n X ÿÿÿÿ Justification des réponses : 1 ~ Un+1 = 5 X 32(n+1) = 5x 32n+2 = 5 X 32n X 32 =9Un;d'où la suite Unest géométrique de raison q = 9 U„ 2~d =7-8+9-6+7-3=-l+ 3+4 =6 ,d'où Le reste de la division euclidienne de 376987 par 11est |r = 6 3~Soit d= P.G.C.D(n+ l,2n+ 3) .Calculons le P.G.C.D(n+ l,2n+ 3) par l'algorithme d'Euclide 2n+ 3 = 2x (n+ 1)+ 1 , n+ 1= 1x (n+ 1)+0 et par suite d= 1 2iéme méthode :Puisque lajustification n'est pas demandée on peut remplacer par exemple l'entier npar 0 , ainsi d = PGCD(1,3) = 1 Correction de l'exercice 2 2017 =6x336+1 1 - Effectuons la division euclidienne du nombre 2017 par 6 : 2-Soit p unnombre premier supérieur a 3 a-il s'agit de montrer que les restes de la division euclidienne de p par 6 ne peuvent pas êtres un des nombres 0 ,2 ,3 et 4 • p =6q+r ,avec 0 ÿ r < 6 sir = 0 ou r =2 ou r =4 ,alors p sera divisible par 2 : 2 divise 6q et 2 divise r donc 2 divise p =6q+r et cela contredit l'hypothèse que p est un nombre premier supérieur a 3 ,donc p n'est divisible que par 1et luimême . si r = 3 alors p sera divisible par 3 : 3 divise 6q et 3 divise r donc 3 divise p =6q+r) et cela contredit l'hypothèse que p est un nombre premier Conclusion :les restes possibles de la division euclidienne de p par 6 sont 1ou 5 b- D'après question a: p =6q+l ou p= 6q+ 5 •Si p=6q+ 1, alors : p" + 5 =(6q+ 1)" + 5 =36q2 + 12q+ 1+ 5 = 36q~ + 12q+6 =6x (6q~ +2q+ 1) v.__ J v Divisiblepar6 •Sip =6q+ 5, alors : p" + 5 = (6q+ 5)" + 5 = 36q~ + 60q+ 25 + 5 =36q' + 60q+ 30 =6x (6q~ + lOq+ 5) v_ _ J v Divisiblepar6 Conclusion :p2 + 5 est divisible par 6 pour tout nombre premier p supérieur a 3 . © Correction de l'exercice 3 On définit une suite (Un)n>0 par : U0 =6 et Un+1=3Un -8 CD 1-a- On remplace npar 0 dans l'égalité CD on aura U, =3U0 -8 =3x6-8= 10 ,d'où On remplace npar 1dans l'égalité (D on aura U2 =3U; -8 =3x10-8 =22 ,d'où b- U,-U0 = 10-6=4 , U2-U, =22-10 = 12 U2 -Uj ÿ Uj-U0 d'où la suiteUn n'est pas arithmétique U, =10 U2 =22 U2 _ 22 Uj_10 U, U, U, 10 u0 6 U0 U, d'où la suiteUn n'est pas géométrique Conclusion :la suite Unn'est ni arithmétique, nigéométrique 2-On définit la suite (Vn)n>0 par Vn = Un -4. Vn+1 = Un+1 -4 et d'après ® on aura Vn+I =3Un -8- 4 =3Un - 12=3(Un - 4) =3Vn V„ ainsi la suite Vn est géométrique de raison q = 3et de premier terme V0=U0 -4 =6- 4 =2 3- yn =voqn =2x3n ,d'où V =2x3' Vn = Un -4 signifie Un =Vn +4 =2x 3n +4 d'où U =2x 3n + 4 4~a~Sn =V0 + Vj +.......... +Vn .est la somme des (n+1) premiers termes consécutifs de la suite géométrique Vn ,d'où Sn =V0 x i-q n+l =2x 1-3 n+l 3„+i _ l 3-1 1-q 1-3 donc = 2x 3„+! _ j =2x =3n+1 - 1 S = 3n+1 - 1 b-U =V +4 :T =Un + U, +.......... +U =(V, + 4) + (V, + 4) + +(V +4) n n " n 0 1 nx0/vl7 v n 7 signifie Tn = (V0 + V, +.......... +Vn) + (4+ 4 +........... + 4) =Sn + (n+ 1)x 4 (n+l)fois signifie Tn = 3n+1 - 1+ 4n + 4 =3"+l + 4n + 3 donc n+l Correction de l'exercice 4 T =3"+I + 4n + 3 1- Construction des points E et F :• E = h(B) signifie AE =2AB • F = h(C) signifie AF =2AC 2-a-O milieu de diamètre [AD] donc AD =2AO,et par suite h(O) =D b- •K est le projeté orthogonal de D sur (EF) donc |(DK) _L (EF)|® • E = h(B)et F =h(C) donc h(BC) = (EF) et par suite (BC)//(EF) (g) de CD et (D on déduit que |(DK)± (BC) OB = OC et IB= IC donc (OI) est la médiatrice du segment [bc] et par suite (OI) _L (BC) © de CD et (D on déduit que |(OI)//(DK)| (5) • h(O) =D,donc h((OI))est la droite passante par D et parallèle a(OI),d'après © |h((OI)) = (DK) 3- a~Montrons que h(I) = K I g (OI)n(BC),donc h(I)G h((OI))nh((BC)) et par suite h(I)G (DK) n(EF) ={k}, d'où h(I) =K b- • h(I) =Kdonc AK = 2AI et par suite |I=A * K|®, et on a |I= B* C de CD et (2) on déduit que les diagonales [ak] et [bc] du uploads/Geographie/ devoir-de-synthese-n02-2012-2013-bellassoued-mohamed.pdf