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LA DYNAMIQUE DES POPULATIONS MODÈLE CONTINU PARTIE 1 : MODÈLES SANS INTERACTION

LA DYNAMIQUE DES POPULATIONS MODÈLE CONTINU PARTIE 1 : MODÈLES SANS INTERACTION Pré-requis : dérivée fonction x → exp(ax), dérivée d’un produit I. Modèles historiques d’accroissement de la population ........................ 4 I.1 Modèle exponentiel de Malthus ........................................ 4 I.1.1 Équation différentielle y'=ay ......................................... 4 I.1.2 Solutions du modèle de Malthus ...................................... 4 I.2 La loi logistique de Verhulst .......................................... 5 I.2.1 Le modèle de Verhulst dans les livres modernes .............................. 5 I.2.2 Équation différentielle y'=ay+b ....................................... 6 I.2.3 Étude mathématique du problème ..................................... 6 I.2.4 Exemple : croissance d’une population d’éléphants ............................ 7 II. De Malthus à Verhulst : un peu d’histoire .............................. 8 II.1 Malthus ...................................................... 8 II.1.1 Rapide biographie .............................................. 8 II.1.2 Un extrait célèbre et les réactions virulentes de Marx et Engels ..................... 9 II.1.3 Un adjectif injuste associé à son nom .................................. 10 II.2 Quetelet et Verhulst .............................................. 13 II.2.1 Rapide biographie de Verhulst ...................................... 13 II.2.2 Les idées de Verhulst qui le conduisent à la loi logistique ....................... 14 II.2.3 La croissance (humaine) s’arrêtera d’elle-même, sans augmentation de la misère ? ......... 15 II.2.4 Contexte important (pourquoi ce domaine de recherche ?) et nuances absentes des biographies . 16 III. Un exemple d’utilisation : la population de levures de bière de Gause ............... 17 III.1 Modèle exponentiel de Malthus ...................................... 18 III.2 Modèle logistique de Verhulst ....................................... 18 IV. Autres modèles primaires ..................................... 19 IV.1 Modèle de Leslie (1945) : pour population structurée en âge .................... 19 IV.2 Développement d’une bactérie : plusieurs modèles .......................... 19 IV.2.1 Modèle de Gompertz (1925) : du "logistique accéléré" ......................... 19 IV.2.2 Modèles récents en microbiologie alimentaire ............................. 20 V. Modèles secondaires : et l’environnement, on l’a oublié ? ...................... 21 VI. À quoi ça sert alors ? C’est vraiment utile ces trucs ? ....................... 22 VI.1 Microbiologie prévisionnelle : parfois le modèle logistique ..................... 22 VI.2 Datation au carbone 14 : modèle exponentiel. Et le carbone 13 ? ................. 22 VI.3 Diffusion d’une innovation : modèle logistique ............................ 22 VI.4 La mauvaise odeur d’un poisson : modèle de Baranyi ......................... 23 VI.5 Exemples d’utilités historiques : les espèces invasives ........................ 23 VI.5.1 L’algue tueuse de la Méditerranée .................................... 23 VI.5.2 La lutte effrénée contre le lapin australien ............................... 24 VI.5.3 La grenouille taureau : mangeuse de poules ............................... 25 VI.5.4 La plante qui tua le lac Tchad : la jacinthe d’eau ............................ 25 VI.5.5 Le termite chinois à la conquête de l’Amérique ............................. 26 VI.5.6 De l’écrevisse à l’abeille tueuse, les exemples d’espèces invasives sont innombrables ........ 27 VI.5.7 Et l’espèce la plus envahissante du monde est… ............................ 27 TS-DM Malthus (1766-1834) Quetelet (1796-1874) Verhulst (1804-1849) Karl Marx (1818-1883) Friedrich Engels (1820-1895) Gause (1910-1986) Les hommes ne sont point faits pour être entassés en fourmilières, mais épars sur la terre qu’ils doivent cultiver. Plus ils se rassemblent, plus ils se corrompent. Les infirmités du corps, ainsi que les vices de l’âme, sont l’infaillible effet de ce concours trop nombreux. L’homme est de tous les animaux celui qui peut le moins vivre en troupeaux. Des hommes entassés comme des moutons périraient tous en très peu de temps. L’haleine de l’homme est mortelle à ses semblables : cela n’est pas moins vrai au propre qu’au figuré. Les villes sont le gouffre de l’espèce humaine. Au bout de quelques générations les races périssent ou dégénèrent ; il faut les renouveler, et c’est toujours la campagne qui fournit à ce renouvellement. Envoyez donc vos enfants se renouveler, pour ainsi dire, eux-mêmes, et reprendre, au milieu des champs, la vigueur qu’on perd dans l’air malsain des lieux trop peuplés. Émile ou de l’éducation (1762), Jean-Jacques Rousseau T°S – D.M. Dynamique des populations. Partie 1 (J. Mathieu) Page 2 sur 27 La suite de Fibonacci1 permet de donner un « modèle d’évolution » célèbre des lapins… mais surtout un modèle d’étude des générations de certaines populations (par exemple les hyménoptères2 – fourmis, abeilles, etc.). Mais le mode de reproduction des lapins ne suit pas, en réalité, la suite de Fibonacci. Notamment, une portée n’est que rarement limitée à un couple mâle-femelle, et ils ne vivent pas indéfiniment… De même pour les hyménoptères, ils ne vivent pas indéfiniment… Nous allons ici « poursuivre » l’intérêt de Fibonacci pour la description d’un phénomène naturel, et nous intéresser à la dynamique des populations. La dynamique des populations s’intéresse au développement numérique de toutes les populations d’êtres vivants, et plus particulièrement de celles des animaux sexués. Les répartitions de poids, la composition par âge des individus, l’environnement, la biologie des groupes, et les processus qui influent sur ces changements font également partie de son champ d’étude. Ces études ont pour but, outre de prévoir les accroissements ou diminutions des populations, de comprendre les influences environnementales sur les effectifs des populations. Des études sur ces sujets sont incontournables par exemple pour la gestion de la pêche, la gestion cynégétique3, le management des zones protégées, le contrôle des populations d’animaux dits nuisibles… Notre objectif est de modéliser une population p qui dépend du temps de manière déterministe, c’est-à-dire avec une loi parfaitement définie. Si on considère que le temps est continu : t ∈ ℝ. Et on a une fonction p(t) , à valeurs réelles. A chaque instant t, l’évolution de cette population est donnée par la vitesse d’accroissement (ce que l’on appelle le taux de variation instantané de l’effectif de la population) c’est-à-dire par le nombre dérivé p' (t) . • La vitesse moyenne entre t 1 et t 2 est p(t2)−p(t 1) t 2−t 1 . • La vitesse instantanée, c’est la limite de la vitesse moyenne lorsque t 1 et t 2 sont très proches. Donc c’est lim t1→t2 p(t 2)−p(t1) t 2−t 1 , c’est-à-dire p' (t) . 1 Suite d’entiers dans laquelle chaque terme est la somme des deux termes qui le précèdent : un+2=un+1+u n . 2 Leur nom provient des ailes membraneuses que portent les insectes hyménoptères. Le mot vient du grec hymên, qui signifie « membrane », et de ptéron, « aile ». 3 Du grec ancien κυνηγέτικος, kunêgétikos (« qui a rapport à la chasse »), de κυνηγέτης, kynegetes (« chasseur »). D’ailleurs, en langage soutenu, un cynégète est quelqu’un qui pratique la chasse, qui aime chasser. Un cynégéticien est un professionnel de la chasse, de ses techniques et de ses procédés. La gestion cynégétique est une partie de la gestion de faune sauvage (concerne souvent le gibier). Elle comporte par exemple l’aménagement du territoire pour favoriser une espèce ; le choix raisonné des prélèvements en nombre et en qualité (âge, sexe et état de santé des animaux) ; des introductions ou réintroduction éventuelles (repeuplement, confortement de populations) ; etc. T°S – D.M. Dynamique des populations. Partie 1 (J. Mathieu) Page 3 sur 27 I. Modèles historiques d’accroissement de la population I. Modèles historiques d’accroissement de la population I I.1 .1 Modèle exponentiel de Malthus Modèle exponentiel de Malthus On postule que la vitesse d’accroissement de la population est proportionnelle à la population, autrement dit : l’accroissement de p est proportionnel à p. Ceci traduit l’idée que « plus il y a de lapins, plus ils font des petits ». En notant k le coefficient de proportionnalité, on veut donc trouver p tel que : p' (t)=k p(t) . Cela s’appelle une équation différentielle. On l’écrit en général p' =k p , mais attention : ici k est un nombre alors que p est une fonction « population » qui varie en fonction d’une variable t (le temps). Afin de résoudre cette équation différentielle, voici quelques théorèmes fondamentaux, au programme de la classe de Terminale S il y a encore quelques années à peine. Les démonstrations n’utilisent que la fonction exponentielle, et cela pourrait donc faire l’objet d’un exercice de Bac (en vous guidant bien sûr). I.1.1 Équation différentielle y'=ay Définition : Soit a un réel. Résoudre l’équation différentielle y' =a y c’est déterminer toutes les fonctions définies sur un intervalle I telles que pour tout réel x de I : f ' ( x)=a f ( x) . T héorème : Les solutions de l’équation différentielle y' =a y sont les fonctions du type : y(x)=C e ax où C est une constante réelle. D DÉMONSTRATION ÉMONSTRATION À À FAIRE FAIRE : : On note (E) l’équation différentielle y' =a y . 1. Vérifier que les fonctions y(x)=C e ax sont bien des solutions de (E). Cela prouve l’existence de solutions. 2. Montrons que ces fonctions sont les seules solutions de (E). On note y une solution quelconque de (E). Remarque : on peut écrire cela car on a prouvé l’existence de solutions au 1. On définit alors la fonction z par z( x)=y( x)e −ax . Montrer que z ' (x)=0 et en déduire que z( x)=C où C ∈ ℝ. En déduire que y(x)=Ce ax et conclure. I.1.2 Solutions du modèle de Malthus On a vu que Malthus proposait de résoudre l’équation y' =a y . Quelles sont les solutions à ce problème ? Représentez quelques-unes de ces uploads/Geographie/ dynamique-des-populations-continu-partie-1-logist-etc.pdf