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Un cours de mathématiques au Collège Dans ce site de mathématiques, vous pourrez découvrir de nombreux résumés de cours, ainsi que des activités pédagogiques et exercices interactifs. Les chapitres suivants sont abordés: Cours de maths en classe de sixième de collège: Pour la partie numérique: numération, addition, soustraction, multiplication, division, premiers éléments de géométrie (droites, segments, etc...), longueurs et cercles, angles, symétrie axiale et parallélépipède pour la géométrie dans l'espace. Cours de maths de la classe de cinquième de collège: Pour la partie numérique: nombres relatifs (introduction et opérations: addition, soustraction, multiplication), fractions (opérations: addition, soustraction et multiplication). Pour la partie géométrie: étude de la symétrie centrale, angles,... Cours de maths de la classe de quatrième de collège: Pour la partie d'algèbre: opérations sur les nombres relatifs, opérations sur les fractions, puissances d'un nombre, calcul littéral, ordre et opérations, proportionnalité, statistiques. Pour la partie géométrie: étude du cercle circonscrit à un triangle, théorèmes de Pythagore, parallélogrammes et translation, théorème des milieux et de Thalès, droites remarquables du triangle (hauteurs, médianes, bissectrices, médiatrices), cosinus et triangle rectangle, pyramides et cônes de révolution Cours de maths de la classe de troisième de collège: Pour la partie algèbre: racines carrées, identités remarquables, développement et factorisation, arithmétique avec l'étude du PGCD, notion de fonctions (antécédents, images), fonctions linéaires et affines, proportionnalité, équations et inéquations, système de deux équations à deux inconnues, statistiques (médiane, étendue, notions de dispersion), probabilités (événement, issue, loi des grands nombres, jet de dés). Pour la partie géométrie: théorèmes de Thalès, trigonométrie (cosinus, sinus, tangente), vecteurs et translation (relation de Chasles entre autres), coordonnées de vecteurs, sphères, sections agrandissement et réduction dans l'espace, angles (théorème de l'angle inscrit), polygones réguliers, rotation. Quelques sujets de Brevet Afin d'aider à la préparation du DNB (Diplôme National du Brevet), vous disposez des sujets et corrections de 2003, 2004, 2005, 2006 et 2007 Mais pour profiter de ce joli sommaire de mathématiques, vous devez absoluement activer le javascript, avoir le flash, éventuellement autoriser les applets java pour les animations géogébra Accueil Sixième Un cours de mathématiques au Collège sur mathox.net sur le web Recherche Google n m l k j i n m l k j http://www.mathox.net/troisiemes_inequations.html Numérique Géométrie Numération Addition Soustraction Multiplication Division Quotients Premiers élèments de géométrie Mesure de longueurs Angles Symétrie axiale Géométrie dans l'espace Cinquième Numérique Géométrie Aires Géométrie dans l'espace. Nombres relatifs Organiser et effectuer des calculs. Distributivité Comparaison en écriture fractionnaire Opérations en écriture fractionnaire. Addition et soustraction des nombres relatifs. Equations. Proportionnalité. Symétrie centrale Angles Triangles Parallélogrammes Quatrième Algèbre Géométrie Opérations sur les relatifs Opérations en écriture fractionnaire Les puissances Calcul littéral. Equations Ordre et opérations Applications de la proportionnalité Statistiques Triangle rectangle et cercle circonscrit Le théorème de Pythagore Triangles: milieux et parallèles Triangle rectangle et cosinus Droites remarquables du triangle Pyramides et cônes de révolution Quadrilatères Agrandissement- Réduction Troisième Algèbre Géométrie Les puissances Racines carrées Identités remarquables. Développement. Factorisation Arithmétique Introduction aux fonctions Applications linéaires et affines. Proportionnalité Statistiques Probabilités Equations. Inéquations Systèmes de deux équations à deux inconnues Théorèmes de Thales Trigonométrie Sphères Sections. Agrandissements. Réductions Angles. Rotations. Polygones réguliers Divers Géométrie Parallélogrammes et translations Droites remarquables du triangle De la translation aux vecteurs Vecteurs et coordonnées Liens \Troisième\Algébre\Equations et inéquations. Equations et inéquations. 1. Equations. 1.1 Définitions. Vocabulaire. Définition: On appelle équation une égalité entre deux expressions algébriques. Exemple: , , sont des équations. La première comporte une seule inconnue, x. La deuxième comporte deux inconnues x et y. La troisième comporte à nouveau une seule inconnue, x. Cette dernière est élevée au carré, on dit donc de la troisième équation que c'est une équation du second degré. Les deux premières équations sont du premier degré. Vocabulaire: Dans une équation, on distingue les membres de cette équation, c'est à dire les expressions algébriques qui sont de part et d'autres du signe égal. Une équation comporte donc deux membres: le premier et le deuxième, ou encore le membre de gauche et le membre de droite. Définitions : Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs que l’on peu donner à l’inconnue pour que l’égalité soit vraie. Ces valeurs sont les solutions de l’équation. Dans un premier temps, nous allons nous intéresser uniquement aux équations à une seule inconnue du premier degré, ou à celles qui peuvent s'y ramener. Tout d'abord revoyons deux équations de référence vues dans les classes antérieures. 1.2. Equations de références a + x = b ; ax = b. 1.2.1. a + x = b. Propriété: L’équation a + x = b d’inconnue x a pour solution x = b – a. Exemple : La solution de l’équation 3 + x = -7 est –10. 1.2.2. ax = b. Propriété: L’équation ax = b d’inconnue x: G Si , admet une seule solution x = b/a. G Si et si , une infinité de solution. G Si et si , aucune solution. En pratique, en classe de Troisième, on ne s'intéressera qu'au premier cas. Exemple : L'équation -4x = 7 admet une seule solution: . 1.3. Méthode de résolution d'une équation à une inconnue du premier degré. L’objectif est de ramener l’équation à une équation de référence du § 1.2. Pour cela on dispose des deux règles suivantes : Règle 1 : On ne change pas les solutions d’une équation en ajoutant ou en retranchant un même nombre aux deux membres de l’équation. Règle 2 : On ne change pas les solutions d’une équation en multipliant ou en divisant par un même nombre non nul les deux membres de l’équation. Exemple : Résoudre l’équation : L'équation admet une seule solution: . Savoir : Mettre en équation un problème Méthode: Pour mettre en équation un problème, on respectera les étapes suivantes: 1. Choix de l'inconnue. 2. Mise en équation du problème. 3. Résolution de l'équation. 4. Conclusion, en vérifiant si la (ou les) solution(s) répondent au problème posé. 1.4. Equation-produit. 1.4.1. Nullité d’un produit. Propriétés : 1. Si l’un des facteurs d’un produit est nul, alors ce produit est nul. 2. Réciproquement, si un produit est nul, alors l’un au moins de ses facteurs est nul. 1.4.2. Définition et méthode de résolution d’une équation-produit. Définition: Une équation-produit est une équation à une inconnue où le premier est un produit de facteurs du premier degré (chaque facteur est du type ax + b, où a et b sont deux nombres) et dont le second membre est nul. Exemple : (4x – 3) (x + 7) = 0 Remarque: Les équations-produit sont le premier type d'équation à une inconnue de degré supérieur strictement à 1 vu dans la scolarité au collège. En pratique, on se limite à deux ou trois facteurs, c'est à dire à des équations du second ou troisième degré. Méthode de résolution : On désigne par A = 4x – 3 et B = x + 7. Règle : A et B désignant deux expressions du premier degré de la même variable : Si AB = 0, alors A = 0 ou B = 0. Sur l’exemple : (4x – 3)(x + 7) = 0 alors 4x – 3 = 0 ou x + 7 = 0 x = ¾ ou x = -7. Les solutions de (4x – 3)(x + 7) = 0 sont –7 et . Savoir: Factoriser pour résoudre une équation. Afin de se ramener à une équation produit, il est parfois nécessaire de commencer par factoriser l'équation donnée. Pour cela, on dispose de toutes les formules vues dans le paragraphe sur la factorisation, du chapitre Développement. Identités remarquables. Factorisation. 2. Inéquations à une inconnue du premier degré. 2.1. Ordre et opérations. 2.1.1. Comparaison de deux nombres relatifs. Règles : 1. Si deux nombres sont de signes différents, le plus petit est le nombre négatif. 2. Si deux nombres sont négatifs, on les range dans l’ordre inverse de leurs opposés. Exemple : Ranger par ordre croissant : -4,53 ; +4,5 ; -4,503. -4,53 < -4,503 < +4,5. 2.1.2. Ordre et addition. Règle : 3. L’ordre est conservé lorsque l’on ajoute un même nombre aux deux membres d’une inégalité. Exemples : 1. Comparer : et . Comme : , on a : a < b. 2. Si x vérifie x + 7 < 3,5, alors on a : x + 7 + (-7) < 3,5 + (-7) d'où: x < -3,5. 2.1.3. Ordre et multiplication. Règles : 4. L’ordre est conservé quand on multiplie les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement positif. 5. L’ordre est inversé quand on multiplie les deux membres d’une inégalité par un même nombre strictement négatif. Exemples : 1. Si x vérifie : alors on a, puisque : 2. Si x vérifie : , alors, on a, puisque : 2.2. Inéquations du premier degré à une inconnue. 2.2.1. Généralités Définition: On appelle inéquation une inégalité entre deux expressions algébriques. Exemple: , , sont des inéquations. La première comporte une seule inconnue, x. La deuxième comporte deux inconnues x et y. La troisième comporte à nouveau une seule inconnue, x. Cette dernière est uploads/Geographie/ equations-et-inequations-cours-et-exemples.pdf