ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d’exercices en Hydrologie Cours

ENAC/ISTE/HYDRAM HYDROTHEQUE : base de données d’exercices en Hydrologie Cours : Hydrologie Appliquée / Thématique : Etude des Crues ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Logo optimisé par J.-D.Bonjour, SI-DGR 13.4.93 Exercice n° HA 0805 - Corrigé Estimation des débits de crue pour différents temps de retour par la méthode statistique – Application au bassin versant de la Mentue à Yvonand (VD, Suisse) Données de l’exercice : L’exercice porte sur le bassin versant de la Mentue (station à Yvonand). Les données nécessaires à la réalisation de cet exercice se trouvent dans le tableau 1-énoncé ou dans le fichier Excel « exercice HA0805_enonce.xls ». Un fichier Excel « HA0805_feuilledecalcul.xls » à compléter est également disponible. Le corrigé se trouve aussi dans le fichier « HA0805_corrige.xls ». Question 1 : Estimation des débits de pointe de temps de retour, 5, 20, 50, 100 ans par la méthode statistique – Ajustement de Gumbel  Méthode à appliquer : ajustement statistique d’une série de données -Gumbel L’objectif de cet exercice est d’estimer les débits de pointes (débits maximaux) correspondants à un certain temps de retour, c’est-à-dire à une certaine probabilité d’apparition donnée. L'analyse fréquentielle d'une longue série de débits maximaux permet d’estimer le temps de retour d'une valeur particulière. Cette prédiction repose sur la définition et la mise en œuvre d’un modèle fréquentiel qui est une équation décrivant (modélisant) le comportement statistique d’un processus. Ces modèles décrivent la probabilité d’apparition d’un événement de valeur donnée. C’est du choix du modèle fréquentiel (et plus particulièrement de son type) que dépendra la validité des résultats de l’analyse fréquentielle. Un modèle fréquentiel très souvent utilisé pour décrire le comportement statistique des valeurs extrêmes est la distribution statistique de Gumbel (loi double exponentielle ou loi de Gumbel). La fonction de répartition de la loi de Gumbel F(x) s’exprime de la manière suivante : ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = b a x x F exp exp ) ( (1) avec la variable réduite suivante : b a x u − = (2) où a et b sont les paramètres du modèle de Gumbel. La distribution s’écrit alors de la manière suivante : ( ) exp( exp ) ( u x F − − = ) (3) et ( ) ( ) ) ( ln ln x F u − − = . (4) L’avantage d’utiliser la variable réduite est que l’expression d’un quantile est alors linéaire ( ). q q bu a x + = En conséquence, dès lors que les points de la série à ajuster peuvent être reportés dans un système d’axes x - u il est possible d’ajuster une droite qui passe le mieux par ces points et d’en déduire les deux paramètres a et b de la loi. Il existe différentes méthodes d’ajustement : méthode graphique (ajustement à l’œil ou à l’aide d’une régression statistique), méthode des moments ect. En pratique, il s’agit essentiellement d’estimer la probabilité de non dépassement F(xi) qu’il convient d’attribuer à chaque valeur xi. Il existe de nombreuses formules d’estimation de la fonction de répartition ˆ( ) F x à l’aide de la fréquence empirique. Elles reposent toutes sur un tri de la série par Mise à jour le 14.04.2004 HA 0805 - Page 1 valeurs croissantes permettant d’associer à chaque valeur son rang r. Des simulations ont montré que pour la loi de Gumbel, il faut utiliser la fréquence empirique de Hazen : [ ] ( ) 0.5 r r F x n − = (5) où r est le rang dans la série de données classée par valeurs croissantes, n est la taille de l’échantillon, x[r] la valeur de rang r. Rappelons encore que le temps de retour T d'un événement est défini comme étant l'inverse de la fréquence d'apparition de l'événement. Soit : 1 1 ( Q Q T ) F x = − . (6)  Démarche et résultats Etape 1 : Préparation de la série de données des débits de pointe. ƒ Trier les valeurs dans l’ordre croissant. ƒ Attribuer un rang à chaque valeur. Etape 2 : Calcul de la fréquence empirique pour chaque rang (Hazen, équation (5)). Etape 3 : Calcul de la variable réduite « u » du Gumbel (équation (4)). Etape 4 : Représentation graphique des couples (ui, xi) de la série à ajuster (figure 1). y = 7.9767x + 25.524 0 10 20 30 40 50 60 -2 -1 0 1 2 3 4 5 variable réduite de Gumbel Débit de pointe maximum annuel Figure 1. Ajustement graphique du modèle (calcul des paramètres « a » et « b » de la droite d’ajustement de Gumbel) Etape 5 : Ajustement d’une relation linaire de type q q bu a x + = aux couples (ui, xi) (figure 1) et en déduire les deux paramètres a et b). Avec un ajustement de type graphique (à l’œil), on a alors une estimation des paramètres a et b : a = 25.5et b = 7.98 Etape 6 : Utilisation du modèle statistique pour estimer des débits de pointe de différents temps de retour T. Par exemple pour T=100 ans, on suit les étapes suivantes : ƒ Calcul de la fréquence de non-dépassement d’après la relation (6) : 1 1 ( ( )) 1 1 0,99 100 p F Q T T = − = − = Mise à jour le 14.04.2004 HA 0805 - Page 2 ƒ Calcul de la variable réduite de Gumbel correspondante d’après la relation (4) : ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln ( ( )) ln ln 0,99 4,60 p u F Q T = − − = − − = ƒ Calcul du quantile correspondant d’après la relation linéaire (avec a et b fournis par l’étape 5 précédente ) : 3 100 (100) 25,57 7,98 4,60 62,2 m /s q Q a bu = + = + ⋅ = On a de même pour les autres temps de retour : 3 2,33 3 5 3 20 3 50 (2,33) 25,5 7,98 0,58 30,1 m /s (5) 25,5 7,98 1,50 37,5 m /s (20) 25,5 7,98 2,97 49,2 m /s (50) 25,5 7,98 3,90 56,6 m /s q q q q Q a bu Q a bu Q a bu Q a bu = + = + ⋅ = = + = + ⋅ = = + = + ⋅ = = + = + ⋅ = Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous : Mentue (Yvonnand) Rang Fréquence empirique Variable réduite Temps de retour Année Débit [m3/s]. r F(x) u(x) T(x) 1971 23.00 8 0.30 -0.186 1.429 1972 15.40 2 0.06 -1.034 1.064 1973 13.20 1 0.02 -1.364 1.020 1974 19.08 5 0.18 -0.539 1.220 1975 18.09 4 0.14 -0.676 1.163 1976 20.81 6 0.22 -0.415 1.282 1977 41.50 22 0.86 1.892 7.143 1978 30.82 14 0.54 0.484 2.174 1979 43.67 23 0.90 2.250 10.000 1980 33.25 16 0.62 0.738 2.632 1981 27.59 10 0.38 0.033 1.613 1982 52.66 25 0.98 3.902 50.000 1983 32.55 15 0.58 0.607 2.381 1984 30.47 13 0.50 0.367 2.000 1985 37.43 20 0.78 1.392 4.545 1986 35.47 18 0.70 1.031 3.333 1987 29.65 12 0.46 0.253 1.852 1988 33.60 17 0.66 0.878 2.941 1989 16.83 3 0.10 -0.834 1.111 1990 27.99 11 0.42 0.142 1.724 1991 37.27 19 0.74 1.200 3.846 1992 37.99 21 0.82 1.617 5.556 1993 25.41 9 0.34 -0.076 1.515 1994 21.83 7 0.26 -0.298 1.351 1995 45.40 24 0.94 2.783 16.667 Mise à jour le 14.04.2004 HA 0805 - Page 3 Question 2 : Estimation des débits de pointe de temps de retour, 5, 20, 50, 100 ans par la méthode statistique - Méthode des moments.  Méthode à appliquer : Méthode des moments La méthode des moments consiste à égaler les moments des échantillons avec les moments théoriques de la loi1. Par la méthode des moments les paramètres a et b sont calculés d’après les formules : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = . ˆ ˆ ˆ ˆ 6 ˆ γ μ σ π b a b avec 5772 . 0 = γ (constante d’Euler). avec σ : écart-type des valeurs composant l’échantillon. μ : moyenne de l’échantillon. Dès lors il est possible d’estimer les débits dont la représentation graphique est une droite d’équation : ˆ ˆ ˆ Q a b u = + ⋅ avec : u: variable réduite (cf. équation (4)).  Démarche et résultats Paramètres Débit Unités Moyenne Ecart-type Paramètre a Paramètre b Q2.33 Q5 Q20 Q50 Q100 30 10.13 25.87 7.21 30 36.7 47.3 54 59 [m3/s] [m3/s] [m3/s] [m3/s] [m3/s] [m3/s] [m3/s] [m3/s] [m3/s] Question 3 : Commentaires. Dans l’exemple ci-dessus, les deux méthodes donnent des résultats très proches l’une de l’autre. La méthode des moments est nettement plus rapide à appliquer, elle présente cependant un désavantage par rapport à la méthode graphique. L’ajustement graphique permet en effet de repérer d’éventuels points qui ne sont pas bien alignés et de ne pas en tenir uploads/Geographie/ ha0805-corrige 1 .pdf

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