BTS M´ ecanique et Automatismes Industriels Fiabilit´ e Lyc´ ee Louis Armand, P

BTS M´ ecanique et Automatismes Industriels Fiabilit´ e Lyc´ ee Louis Armand, Poitiers, Ann´ ee scolaire 2003 2004 Fiabilit´ e S2 mai Fiabilit´ e 1. Premi` eres notions de fiabilit´ e Dans tout ce paragraphe, nous nous int´ eressons ` a un dispositif choisi au hasard dans une population constitu´ ee des dispositifs du mˆ eme type. On d´ esigne par T la variable al´ eatoire qui, ` a tout dispositif choisi au hasard dans la population, associe son temps de bon fonctionnement ou sa dur´ ee de vie avant une d´ efaillance. Pour simplifier, l’origine des temps t = 0 est choisie lorsque le dispositif est mis en marche pour la premi` ere fois. Notre variable T est donc une variable al´ eatoire continue ` a valeurs dans [0; +∞[. Nous noterons f la densit´ e de probabilit´ e de la variable T. 1.1 - Fonction de d´ efaillance – Fonction de fiabilit´ e On appelle fonction de d´ efaillance la fonction F d´ efinie pour tout t 0 par F(t) = P(T  t) Le nombre F(t) repr´ esente la probabilit´ e qu’un dispositif choisi au hasard dans la population ait une d´ efaillance avant l’instant t. 0 y x t y = f(x) F(t) Cette fonction nous am` ene naturellement une fonction associ´ ee : la fonction de fiabilit´ e R d´ efinie pour tout t 0 par R(t) = 1  F(t) Le nombre R(t) repr´ esente la probabilit´ e qu’un dispositif choisi au hasard dans la population n’ait pas de d´ efaillance avant l’instant t. 0 1 y t y = R(t) y = F(t) 1.2 - Taux d’avarie instantan´ e Sur la courbe repr´ esentative de la fonction de d´ efaillance F, on s’int´ eresse ` a la pente de la tangente pour un instant t donn´ e. (Cette pente est ´ egale ` a F  (t).) On appelle taux d’avarie instantan´ e ` a l’instant t ce nombre, et on le note λ(t). On montre que l’on a pour tout t 0 : λ(t) = f(t) R(t) 1 Fiabilit´ e S2 mai Remarques : Comme R(t) = 1  F(t), on montre facilement que l’on a ´ egalement : λ(t) =  R  (t) R(t) et λ(t) = f(t) 1  F(t) Les relations pr´ ec´ edentes permettent donc de trouver λ(t) si l’on connaˆ ıt F(t) ou R(t). Inversement, si l’on connaˆ ıt λ(t), on peut obtenir R(t) (respectivement F(t)) comme solution de l’´ equation diff´ erentielle du premier ordre : R  (t) R(t) =  λ(t) (respectivement F  (t) 1  F(t) =  λ(t) ) On a alors R(t) = e  t 0 λ(x) dx et F(t) = 1  e  t 0 λ(x) dx On constate exp´ erimentalementque, pour la plupart des mat´ eriels, la courbe repr´ esentative du taux d’avarie instantan´ e t  λ(t)a la formedonn´ eepar la figure ci-dessous.Elle est appel´ ee courbeen baignoire et comporte3 parties distinctes : O pannes précoces vie utile usure y = λ(t) ` A gauche, la p´ eriode de d´ ebut de fonctionnement, o` u le taux d’avarie instantan´ e d´ ecroˆ ıt avec le temps, car les pannes pr´ ecoces dues ` a des d´ efauts de fabrication ou de conception sont de moins en moins nombreuses. Au centre, la p´ eriode de maturit´ e, ou  vie utile  , o` u le taux d’avarie instantan´ e reste ` a peu pr` es constant ; pendant cette p´ eriode, les pannes paraissent dues au hasard. ` A droite, la p´ eriode d’usure, o` u le taux d’avarie instantan´ e augmente avec le temps, car les pannes sont dues ` a l’usure croissante du mat´ eriel. 1.3 - MTBF On appelle Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement (MTBF) l’esp´ erance math´ ematique de la variable al´ eatoire T. On a donc MTBF = E(T) = +∞ 0 t f(t) dt   – ` A l’origine, le sigle MTBF provient de l’expression  Mean Time Between Failures  qui signifie  temps moyen entre deux d´ efaillances  . 1.4 - Fiabilit´ e d’un syst` eme Pour un syst` eme constitu´ es de n composants mont´ es en s´ erie (le bon fonctionnement de chacun ´ etant ind´ ependant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a R(T) = R1(t)  R2(t)  Rn(t) 2 Fiabilit´ e S2 mai o` u R1, R2,  , Rn sont les fonctions de fiabilit´ es respectives des n composants. (En effet, le syst` eme est d´ efaillant d` es qu’un seul composant est d´ efaillant.) Pour un syst` eme constitu´ es de n composants mont´ es en parall` eles (le bon fonctionnementde chacun ´ etant ind´ ependant du bon fonctionnement des autres), on montre que l’on a F(T) = F1(t)  F2(t)     Fn(t) o` u F1, F2,  , Fn sont les fonctions de d´ efaillances respectives des n composants. (En effet, le syst` eme est fonctionnel d` es qu’un seul composant est fonctionnel.) 2. Loi exponentielle 2.1 - Les fonctions La loi exponentielle est la loi suivie par la variable al´ eatoire T lorsque le taux d’avarie est constant. Autrement dit, pour tout t 0, on a λ(t) = λ o` u λ est une constante r´ eelle strictement positive. Cette loi concerne tous les mat´ eriels pendant une dur´ ee de leur vie (vie utile) et les mat´ eriels ´ electroniques pendant presque toute leur vie. La fonction de fiabilit´ e est d´ efinie pour tout t 0 par R(t) = e  λt La fonction de d´ efaillance est d´ efinie pour tout t 0 par F(t) = 1  e  λt La densit´ e de probabilit´ e de la variable al´ eatoire T est d´ efinie pour tout t 0 par f(t) = λe  λt 0 y t λ t0 y = f(t) F(t0) R(t0)   – Si la variable al´ eatoire T suit une loi exponentielle de param` etre λ, alors on aura ln R(t) =  λt, et la repr´ esentation graphique de la courbe y = R(t) sur un papier semi-logarithmique sera une droite. 3 Fiabilit´ e S2 mai 1 0 y t y = R(t) 1/λ 2.2 - MTBF – ´ Ecart-type On admettra que, pour la loi exponentielle de param` etre λ, on a E(T) = 1 λ = MTBF On montre ´ egalement que : pour t = 1 λ = MTBF, on a R(t) 0  368. Enfin, on admettra que l’´ ecart-type de la variable al´ eatoire T est σ(T) = 1 λ = MTBF 3. Exercices Exercice 1 : Fiabilit´ e d’un type de composant On consid` ere des composants d’un certain type. On admet que la variable al´ eatoire T qui associe ` a tout composant tir´ e au hasard sa dur´ ee de vie exprim´ ee en jours suit la loi exponentielle d´ efinie par R(t) = e  0  000 2t 1. D´ eterminer la probabilit´ e que l’un de ces composants ait une dur´ ee de vie sup´ erieure ` a 2 000 jours. 2. D´ eterminer la MTBF et l’´ ecart-type de T. 3. d´ eterminer la valeur de t0 pour laquelle p(T  t0) = 0  5. Exercice 2 : D´ eterminer le param` etre d’une loi exponentielle Une variable al´ eatoire T suit une loi exponentielle. 1. D´ eterminer le param` etre de cette loi sachant que P(T  70) = 0  05. 2. Les valeurs prises par T ´ etant des heures, d´ eterminer la MTBF et l’´ ecart-type de T. 3. Calculer P(T  30). Exercice 3 : D´ etermination graphique de MTBF pour une loi exponentielle On a mesur´ e pour 20 ´ el´ ements du mˆ eme type la dur´ ee de vie, en heures, avant la premi` ere d´ efaillance. Apr` es calculs, on a obtenu le tableau suivant : ti 500 1 000 1 500 2 000 2 500 3 000 R(t) en % 66  7 47  6 33  3 23  8 14 10 4 Fiabilit´ e S2 mai 1. Porter les points (ti; R(ti)) sur le graphique ci-dessous. 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. On d´ esigne par T la variable al´ eatoire qui, ` a tout dispositif choisi au hasard dans la population des dispositifs de mˆ eme type que celui ´ etudi´ e plus haut, associe sa dur´ ee de vie avant une d´ efaillance. Pourquoi est-il l´ egitime de supposer que T suit une loi exponentielle ? 3. a) Tracer sur le graphique pr´ ec´ edent une droite d’ajustement affines pour les points marqu´ es. b) Lire alors la MTBF de la variable al´ eatoire T. c) En d´ eduire le param` etre λ de la loi exponentielle. 4. Reprendre la question 3. en uploads/Geographie/ fiabilite-pdf.pdf

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