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Géométrie Plane 2015 Soient les points H(−3;−4), I(3;−4), J(3;12) et K(−3;12).

Géométrie Plane 2015 Soient les points H(−3;−4), I(3;−4), J(3;12) et K(−3;12). Déterminer les coordonnées du milieu P du segment [HJ] et du milieu Q du segment [IK]. Démontrer que le quadrilatère HIJK est un rectangle. EXERCICE 1 Soient les points H(−3;−4), I(3;−4), J(3;12) et K(−3;12). xP = xH + xJ 2 = −3 + (3) 2 = 0 2 = 0 yP = yH + yJ 2 = −4 + (12) 2 = 8 2 = 4 Ainsi le milieu du segment [HJ] est P(0;4) xQ = xI + xK 2 = 3 + (−3) 2 = 0 2 = 0 yQ = yI + yK 2 = −4 + (12) 2 = 8 2 = 4 Ainsi le milieu du segment [IK] est Q(0;4) HJ = √ (xJ −xH)2 + (yJ −yH)2 = √ (3 −(−3))2 + (12 −(−4))2 = √ (6)2 + (16)2 = √ 292 = 2 √ 73 IK = √ (xK −xI)2 + (yK −yI)2 = √ (−3 −(3))2 + (12 −(−4))2 = √ (−6)2 + (16)2 = √ 292 = 2 √ 73 Comme les diagonales ont même longueur puisque HJ = IK, et que les diagonales se coupent en leur milieu puisque P = Q on en conclut que HIJK est un rectangle. Soient les points A(−4;−8), B(−5;−11), C(−8;−10) et D(−7;−7). Déterminer les coordonnées du milieu I du segment [AC] et du milieu J du segment [BD]. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un carré. EXERCICE 2 Soient les points A(−4;−8), B(−5;−11), C(−8;−10) et D(−7;−7). xI = xA + xC 2 = −4 + (−8) 2 = −12 2 = −6 yI = yA + yC 2 = −8 + (−10) 2 = −18 2 = −9 Ainsi le milieu du segment [AC] est I(−6;−9) xJ = xB + xD 2 = −5 + (−7) 2 = −12 2 = −6 yJ = yB + yD 2 = −11 + (−7) 2 = −18 2 = −9 Ainsi le milieu du segment [BD] est J(−6;−9) 1 AB = √ (xB −xA)2 + (yB −yA)2 = √ (−5 −(−4))2 + (−11 −(−8))2 = √ (−1)2 + (−3)2 = √ 10 BC = √ (xC −xB)2 + (yC −yB)2 = √ (−8 −(−5))2 + (−10 −(−11))2 = √ (−3)2 + (1)2 = √ 10 CD = √ (xD −xC)2 + (yD −yC)2 = √ (−7 −(−8))2 + (−7 −(−10))2 = √ (1)2 + (3)2 = √ 10 DA = √ (xA −xD)2 + (yA −yD)2 = √ (−4 −(−7))2 + (−8 −(−7))2 = √ (3)2 + (−1)2 = √ 10 AC = √ (xC −xA)2 + (yC −yA)2 = √ (−8 −(−4))2 + (−10 −(−8))2 = √ (−4)2 + (−2)2 = √ 20 = 2 √ 5 BD = √ (xD −xB)2 + (yD −yB)2 = √ (−7 −(−5))2 + (−7 −(−11))2 = √ (−2)2 + (4)2 = √ 20 = 2 √ 5 Comme AB = BC = CD = DA, on en conclut que ABCD est un losange. et comme les diagonales ont même longueur puisque AC = BD, on en conclut que ABCD est un carré. Soient les points V(0;1) , W(−20;−17) et X(−1;−18). Déterminer les coordonnées du milieu A du segment [VW]. Démontrer que le triangle VWX est rectangle en X. EXERCICE 3 Soient les points V(0;1) , W(−20;−17) et X(−1;−18). xA = xV + xW 2 = 0 + (−20) 2 = −20 2 = −10 yA = yV + yW 2 = 1 + (−17) 2 = −16 2 = −8 Ainsi le milieu du segment [VW] est A(−10;−8) VX = √ (xX −xV)2 + (yX −yV)2 = √ (−1 −(0))2 + (−18 −(1))2 = √ (−1)2 + (−19)2 = √ 362 XW = √ (xW −xX)2 + (yW −yX)2 = √ (−20 −(−1))2 + (−17 −(−18))2 = √ (−19)2 + (1)2 = √ 362 VW = √ (xW −xV)2 + (yW −yV)2 = √ (−20 −(0))2 + (−17 −(1))2 = √ (−20)2 + (−18)2 = √ 724 = 2 √ 181 2 VX2 + XW2 = 362 + 362 = 724 or VW2 = 724 ainsi VX2 + XW2 = VW2 donc d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle VWX est rectangle en X. Comme VX = WX, on peut en conclure que le triangle est rectangle isocèle en X. Soient les points N(−8;−5), O(10;15), P(−29;32) et Q(31;−22). Déterminer les coordonnées du milieu V du segment [NO]. Démontrer que le quadrilatère NPOQ est un losange. EXERCICE 4 Soient les points N(−8;−5), O(10;15), P(−29;32) et Q(31;−22). xV = xN + xO 2 = −8 + (10) 2 = 2 2 = 1 yV = yN + yO 2 = −5 + (15) 2 = 10 2 = 5 Ainsi le milieu du segment [NO] est V(1;5) NP = √ (xP −xN)2 + (yP −yN)2 = √ (−29 −(−8))2 + (32 −(−5))2 = √ (−21)2 + (37)2 = √ 1810 PO = √ (xO −xP)2 + (yO −yP)2 = √ (10 −(−29))2 + (15 −(32))2 = √ (39)2 + (−17)2 = √ 1810 OQ = √ (xQ −xO)2 + (yQ −yO)2 = √ (31 −(10))2 + (−22 −(15))2 = √ (21)2 + (−37)2 = √ 1810 QN = √ (xN −xQ)2 + (yN −yQ)2 = √ (−8 −(31))2 + (−5 −(−22))2 = √ (−39)2 + (17)2 = √ 1810 Comme NP = PO = OQ = QN, on en conclut que NPOQ est un losange. Soient les points I(−9;−8), J(−4;−46), K(5;−28) et L(0;10). Déterminer les coordonnées du milieu Q du segment [IK] et du milieu R du segment [JL]. Démontrer que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme. EXERCICE 5 Soient les points I(−9;−8), J(−4;−46), K(5;−28) et L(0;10). 3 xQ = xI + xK 2 = −9 + (5) 2 = −4 2 = −2 yQ = yI + yK 2 = −8 + (−28) 2 = −36 2 = −18 Ainsi le milieu du segment [IK] est Q(−2;−18) xR = xJ + xL 2 = −4 + (0) 2 = −4 2 = −2 yR = yJ + yL 2 = −46 + (10) 2 = −36 2 = −18 Ainsi le milieu du segment [JL] est R(−2;−18) Comme les diagonales se coupent en leur milieu puisque Q = R on en conclut que IJKL est un parallélogramme. Soient les points J(1;1), K(−3;−3), L(9;−11) et M(−11;9). Déterminer les coordonnées du milieu R du segment [JK]. Démontrer que le quadrilatère JLKM est un losange. EXERCICE 6 Soient les points J(1;1), K(−3;−3), L(9;−11) et M(−11;9). xR = xJ + xK 2 = 1 + (−3) 2 = −2 2 = −1 yR = yJ + yK 2 = 1 + (−3) 2 = −2 2 = −1 Ainsi le milieu du segment [JK] est R(−1;−1) JL = √ (xL −xJ)2 + (yL −yJ)2 = √ (9 −(1))2 + (−11 −(1))2 = √ (8)2 + (−12)2 = √ 208 = 4 √ 13 LK = √ (xK −xL)2 + (yK −yL)2 = √ (−3 −(9))2 + (−3 −(−11))2 = √ (−12)2 + (8)2 = √ 208 = 4 √ 13 KM = √ (xM −xK)2 + (yM −yK)2 = √ (−11 −(−3))2 + (9 −(−3))2 = √ (−8)2 + (12)2 = √ 208 = 4 √ 13 MJ = √ (xJ −xM)2 + (yJ −yM)2 = √ (1 −(−11))2 + (1 −(9))2 = √ (12)2 + (−8)2 = √ 208 = 4 √ 13 Comme JL = LK = KM = MJ, on en conclut que JLKM est un losange. EXERCICE 7 4 Soient les points J(−1;6), K(−9;−6), L(−21;2) et M(−13;14). Déterminer les coordonnées du milieu R du segment [JL] et du milieu S du segment [KM]. Démontrer que le quadrilatère JKLM est un carré. Soient les points J(−1;6), K(−9;−6), L(−21;2) et M(−13;14). xR = xJ + xL 2 = −1 + (−21) 2 = −22 2 = −11 yR = yJ + yL 2 = 6 + (2) 2 = 8 2 = 4 Ainsi le milieu du segment [JL] est R(−11;4) xS = xK + xM 2 = −9 + (−13) 2 = −22 2 = −11 yS = yK + yM 2 = −6 + (14) 2 = 8 2 = 4 Ainsi le milieu du segment [KM] est S(−11;4) JK = √ (xK −xJ)2 + (yK −yJ)2 = √ (−9 −(−1))2 + (−6 −(6))2 = √ (−8)2 + (−12)2 = √ 208 = 4 √ 13 KL = √ (xL −xK)2 + (yL −yK)2 = √ (−21 −(−9))2 + (2 −(−6))2 = √ (−12)2 + (8)2 = √ 208 = 4 √ 13 LM = √ (xM −xL)2 + (yM −yL)2 = √ (−13 −(−21))2 + (14 −(2))2 = √ (8)2 + (12)2 = √ 208 = 4 √ 13 MJ = √ (xJ −xM)2 + (yJ −yM)2 = √ (−1 −(−13))2 + (6 −(14))2 = √ (12)2 + (−8)2 = √ 208 = 4 √ 13 JL = √ (xL −xJ)2 + (yL −yJ)2 = √ (−21 −(−1))2 + (2 −(6))2 = √ (−20)2 + (−4)2 = √ 416 = 4 √ 26 KM = √ uploads/Geographie/ geometrie-enonce-sup-6402-avec-corrige.pdf