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1 ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATIST

1 ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR -SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2002 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIES A et B ORDRE GENERAL DUREE : 3 HEURES Les candidats traiteront l’un des 3 sujets au choix. SUJET N° 1 Pourquoi suffit-il d'un tableau noir et d'un morceau de craie pour établir des vérités mathémathiques, alors que le physicien a besoin d'observer et d'expérimenter ? SUJET N° 2 Expliquer et apprécier cette assertion que "la liberté d'indifférence est le plus bas niveau de la Liberté". Descartes "Méditations" SUJET N° 3 Un philosophe a défini l'intelligence "la fonction qui adapte des moyens à des fins". Cette formule vous paraît-elle présenter les conditions d'une bonne définition ? 1 ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR - SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2002 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIE A PREMIERE EPREUVE DE MATHEMATIQUES DUREE : 4 HEURES EXERCICE n° 1 On considère la fonction f définie sur l’ensemble des nombres réels strictement positifs par : f x xLnx x e ( ) = − + 2 où Lnx désigne le logarithme népérien de x et e le nombre de Néper. Etudier les variations de f et tracer son graphe. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation suivante, où a est un paramètre réel : xLnx a x − + = ( ) 2 0 Calculer l’aire limitée par les deux axes et la courbe représentative de la fonction f . 2 EXERCICE n° 2 Pour deux nombres réels a b , qui vérifient a b < , on pose :       − − +       + − = 2 cos 1 2 cos ) ( , b a b a x x b a ϕ Pour x∈− [ , ] π π , montrer que : - Si a x b < < , alors ϕ a b x , ( ) > 1 - Si a x≤ ou x b ≥, alors −≤ ≤ 1 1 ϕ a b x , ( ) Soit f une fonction réelle définie et continue sur [ , ] −π π . Montrer qu’il existe un couple ( , ) a b de nombres réels et un entier naturel n tels que f x x dx a b n ( ) ( ( )) , ϕ π π ≠ − ∫ 0 On suppose maintenant que f vérifie, pour tout entier naturel n , la relation : f x e dx inx ( ) = − ∫ 0 π π . Montrer que f est alors la fonction identiquement nulle. EXERCICE n° 3 Calculer k k n = ∑ 1 et montrer que : k n n n k n 2 1 1 2 1 6 = ∑ = + + ( )( ) Pour toute suite finie de valeurs réelles X t n t ( , ,... ) = 1 2 , trouver le nombre réel a qui minimise l’expression ( ) X a t t n − = ∑ 2 1 Trouver les nombres réels a et b qui minimisent l’expression ( ( )) X at b t t n − + = ∑ 2 1 3 EXERCICE n° 4 On considère une suite réelle ( ) u n dont les suites extraites ) ( 2n u , ) ( 1 2 + n u et ) ( 3n u sont convergentes. Montrer que la suite ( ) u n est convergente. PROBLEME Pour n entier supérieur ou égal à 2, on définit les fonctions f n sur l’ensemble des nombres réels positifs par : f x x Ln x n n ( ) ( ) = − + 1 Donner le tableau de variation de f n . Montrer que l’équation x Ln x n = + ( ) 1 admet une unique solution sur l’ensemble des réels strictement positifs, notée α n . Montrer que α n ∈] , [ 0 1 En étudiant le signe de f n n ( ) α +1 , montrer que la suite ( ) α n est croissante. Montrer que cette suite est convergente et que sa limite est égale à 1. On pose α n n u = − 1 . Montrer que u n est équivalent à −Ln Ln n ( ) 2 1 ECOLE NATIONALE D’ECONOMIE INSTITUT SOUS REGIONAL DE APPLIQUEE (ENEA) STATISTIQUE ET D’ECONOMIE APPLIQUEE DEPARTEMENT DE STATISTIQUE YAOUNDE - CAMEROUN BP 5084 DAKAR - SENEGAL ECOLE NATIONALE SUPERIEURE DE STATISTIQUE ET D'ECONOMIE APPLIQUEE ABIDJAN AVRIL 2002 CONCOURS D'ELEVE INGENIEUR DES TRAVAUX STATISTIQUES VOIES A Et B OPTION MATHEMATIQUES EPREUVE DE CONTRACTION DE TEXTE DUREE : 3 HEURES ,,, Ce texte est tiré du livre "LA SCIENCE à l'usage des non-scientifiques", par Albert Jacquard, paru aux éditions Calmann-Lévy, en septembre 2001. Il peut être résumé en 240 mots plus ou moins 10%. Depuis que Jacques Monod en a fait le titre d'un livre retentissant, l'association du "hasard" et de la "nécessité" est présente dans tous les esprits. Ces deux mots forment un couple indissociable et antagoniste aussi définitivement lié, par la vertu d'un titre sur une couverture, que "le Rouge et le Noir", "l'Etre et le Néant" ou "Dr Jekyll et Mr. Hyde". Cette accointance nous incite à définir chacun des membres du couple par référence à l'autre, au risque d'un cheminement circulaire semblable à celui des dictionnaires lorsqu'ils définissent, par exemple, la vie comme "le propre des êtres qui sont nés et ne sont pas encore morts" et la mort comme "la cessation de la vie". Le hasard serait-il seulement ce qui reste lorsqu'on a épuisé la liste des facteurs participant à la nécessité, et la nécessité ce qui reste lorsque le hasard n'intervient plus ? Une définition moins tautologique est évidemment nécessaire ; elle va mettre en évidence l'intervention d'un troisième terme, la finalité. 2 Ces concepts s'introduisent à propos des attitudes possibles lorsque nous cherchons à expliquer les événements dont nous sommes les témoins. Nous pouvons admettre qu'ils sont la conséquence nécessaire de l'état du monde à l'instant où ils se produisent, état qui résulte de son histoire antérieure ; le présent est alors le produit du passé. Nous pouvons aussi renoncer à chercher un rapport entre ces événements et les conditions de leur survenue ; le présent n'est alors que le produit sans cause de lui-même, l'oeuvre du hasard. Nous pouvons enfin admettre qu'ils ont eu lieu pour rendre possible un événement futur, qu'ils sont au service d'une fin, le présent est alors le produit de l'avenir. Ces trois termes : nécessité, hasard, finalité, sont donc la traduction de notre opinion sur le sens dans lequel agit la flèche du temps. De la pensée magique à Démocrite La réponse la plus simple, lorsque nous essayons de comprendre ce qui se passe autour de nous, est d'admettre que tout événement est le résultat des décisions d'un être puissant et inconnu. Nous ne sommes plus intrigués par la tempête si nous l'attribuons à une colère de Poséïdon, par la foudre si elle est une manifestation de la puissance de Zeus. Tout ce qui survient dépend des volontés ou des caprices des dieux. Ceux-ci sont décrits comme des personnages semblables aux humains ; ils sont animés par des intentions, par le désir de parvenir à un résultat. La pensée magique est donc fondamentalement finaliste : elle admet que le présent est au service d'un futur choisi par une divinité. L'avantage de cette vision est de fournir une explication de tout ; il suffit, lorsque les divinités déjà en place dans le panthéon collectif ne sont pas suffisantes, d'ajouter de nouveaux personnages. Le prix à payer est d'accepter une attitude de soumission, car si tout dépend des dieux, chacun de nous en est le jouet. C'est le refus de cette soumission qu'exprime la phrase de Démocrite qui a inspiré son titre à Jacques Monod : "Tout ce qui existe dans l'univers est le fruit du hasard et de la nécessité". Que pouvaient signifier ces mots pour un philosophe grec quatre siècles avant Jésus-Christ ? Le sens de cette affirmation doit être cherché moins dans les deux termes énoncés que dans l'absence du troisième. En fait, en omettant de citer la finalité, Démocrite recuse l'influence des dieux. Il propose de rendre compte de la succession des événements en admettant certaines régularités, les "lois de la nature", qui à chaque instant transforment l'état du monde, et qui participent à la nécessité ; mais il reconnaît que ces lois n'expliquent pas tout ; force est de constater qu'une part des faits échappe à leur rigueur ; cette part est attribuée au hasard. 3 De l'action uploads/Geographie/ itsa2002.pdf