Université de Caen Basse-Normandie Licence de Physique  niveau L3 Méthodes Num

Université de Caen Basse-Normandie Licence de Physique  niveau L3 Méthodes Numériques pour la Physique 2 2016-2017 Projet  Résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps par la méthode de Numerov Résumé L'objectif de ce projet est de rechercher et d'étudier les solutions de l'équation de Schrödinger indépendante du temps à une dimension pour les états liés d'une particule en interaction avec un potentiel quelconque. Le projet est divisé en trois séquences de di culté graduelle. La première sé- quence permet de découvrir et implémenter les principes de base de l'algorithme de Numerov et de comprendre la procédure de résolution du problème sur la base d'un cas physique élémentaire. On y utilise des programmes simples ne justi ant pas l'utilisation de techniques de programmation avancées. La deuxième séquence introduit des techniques plus élaborées (programmation orientée objet, généricité) de manière à utiliser le langage C++ pour permettre l'écriture de modules et de programmes capables de traiter de manière versatile de nombreux cas physiques au moyen d'un même outil : votre projet numérique. Le troisième et dernière séquence consiste à étudier un cas concret et en trouver les solutions de manière automatique, en mettant en ÷uvre les techniques introduites précédemment. Ce sera l'occasion d'illustrer des comportements fondamentaux de quelques systèmes quantiques d'intérêt physique. Table des matières 1 Introduction 3 1.1 Formulation mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Problème 5 2.1 Principe de la méthode de résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3 Etudes de cas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Séquence 1 : approche basique du problème 10 3.1 Problème simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.2 La question des unités physiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3 Exercice [1.1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.4 Calcul numérique des dérivées à gauche et à droite . . . . . . . . . . . . . 13 3.5 Exercice [1.2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.6 Exercice [1.3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 Séquence 2 : approche générique du problème 18 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.2 Modélisation du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.3 Modélisation du système . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.4 Exercice [2.1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.5 Interface de la fonction  potentiel  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.6 Exercice [2.2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4.7 Vers une interface uni ée de la fonction  potentiel  . . . . . . . . . . . 24 4.8 L'interface de la fonction potentiel selon C . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.9 Exercice [2.3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.10 Utilisation des pointeurs de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.11 Exercice [2.4] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.12 L'interface de la fonction potentiel selon C++ : objets fonction . . . . . . 32 4.13 Exercice [2.5] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.14 L'interface de la fonction potentiel selon C++ : héritage . . . . . . . . . 35 4.15 Exercice [2.6] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.16 L'interface de la fonction potentiel selon C++ : classe abstraite . . . . . 40 4.17 Exercice [2.7] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.18 Retour sur les unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 4.19 Exercice [2.8] : modélisation C++ du système physique . . . . . . . . . . 45 4.20 Modélisation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.21 Exercice [2.9] : implémentation de la classe solution . . . . . . . . . . . . 46 4.22 Modélisation de l'algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.23 Exercice [2.10] : implémentation de la classe numerov_algo . . . . . . . . 47 4.24 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 5 Séquence 3 : étude spéci que 50 Page 2 1 Introduction 1.1 Formulation mathématique L'équation de Schrödinger indépendante du temps à une dimension s'écrit ainsi : ´ ℏ2 2m d2φpxq dx2 ` V pxqφpxq “ Eφpxq (1) où : ‚ ℏest la constante de Planck réduite, ‚ m est la masse de la particule, ‚ x la variable de position, ‚ E son énergie totale ‚ V pxq le potentiel auquel la particule est soumise en x, ‚ φpxq la fonction d'onde solution de l'équation dépendant de x. Elle peut également s'écrire sous la forme de Sturm-Liouville : rppxqu1pxqs1 ` qpxqupxq “ spxq on obtient alors : : φpxq ` 2m ℏ2 rE ´ V pxqs φpxq “ 0 où on reconnaît la forme de Sturm-Liouville avec : ppxq “ 1 qpxq “ 2m ℏ2 rE uploads/Geographie/ l3phy-mnp2-projet-numerov.pdf

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