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LMSP Laboratoire de Mécanique des Systèmes et des Procédés ENSAM 151 Bd de l'Hô

LMSP Laboratoire de Mécanique des Systèmes et des Procédés ENSAM 151 Bd de l'Hôpital 75013 Paris FRANCE Gérard Coffignal Professeur des Universités 7 novembre 2003, version électronique e.1.4 gerard.coffignal@paris.ensam.fr http://www.paris.ensam.fr/lmsp LMSP, ENSAM,151 Bd de l'Hôpital ,75013 PARIS, FRANCE tel (33) 1 44 24 64 41, fax (33) 1 44 24 64 68 Mécanique non-linéaire et éléments finis Fascicule 3 •Théorème des Puissances Virtuelles TPV (ou théorème des produits de test) •Modèles simplifiés de MC •Formulation lagrangienne générale © Gérard Coffignal 2003 Maisons-Alfort, novembre 2003 Un grand merci aux professeurs qui ont su me faire comprendre et partager leur passion pour la mécanique et les éléments finis et en particulier G. AYMARD mon professeur de physique au Lycée d'Arsonval, M. MAURICE pour ses enseignements sur la résistance des matériaux et l'élasticité linéaire au centre ENSAM d'Angers. Merci à Hervé GACHON qui m'a fait découvrir les éléments finis et la mécanique non-linéaire au centre ENSAM de Paris, et dont l'apport n'a pas cessé pendant les longues années que nous avons passées ensemble dans le Laboratoire où il m'a accueilli comme assistant, me faisant ainsi découvrir le plaisir de l'Enseignement. Merci enfin à Jean LEMAITRE et à Pierre LADEVEZE qui m'ont permis d'approfondir au LMT de très nombreux points dans un environnement Recherche très riche. Merci aussi à mes anciens étudiants, ou aux lecteurs des versions électroniques qui au hasard des rencontres ou des courriers electroniques me permettent d'imaginer que ce travail bénévole est utile, et m'invitent ainsi à le poursuivre et à l'améliorer. à mes parents, à Laurent, à mon épouse Marie-Claire, pour sa patience, et sans qui tout ce travail ne pourrait pas exister, à Thomas Merci à Philippe LORONG, qui a relu avec beaucoup d'attention les versions antérieures de ce document, pour ses corrections et nombreuses suggestions. Comme à chaque nouvelle édition, je ne lui ai pas encore donné l'occasion de relire celle-ci. Comme d'habitude, erreurs, oublis ou coquilles existent donc sûrement encore (en très petit nombre…) : merci de me les faire connaître afin de m'aider à les corriger dans les éditions ultérieures. Gérard Coffignal © Gérard Coffignal 2003 A propos de ce fascicule et des autres Après une très grande hésitation, j'ai décidé de mettre à disposition de tout lecteur intéressé cet ensemble de fascicules. Il s'agit d'un ensemble de chapitres rédigés et enrichis progressivement avec des notations cohérentes et précises (beaucoup trop au goût de certains), avec parfois de grands manques lorsque je n'ai pas eu l'occasion d'enseigner ou d'utiliser suffisamment la partie, ou alors que le temps m'a manqué pour enrichir les quelques centaines de pages déjà écrites. Ne cherchez pas de remerciements à une éventuelle aide pour la frappe : je suis personnellement responsable de toutes les coquilles et erreurs de mise en page, mon établissement ne mettant personne à disposition des enseignants pour éditer des polycopiés ! La rédaction est imparfaite, incomplète et contient peut-être encore de-ci de-là quelques inexactitudes : je compte sur la vigilance des lecteurs pour m'en informer par les moyens modernes qui me permettent aujourd'hui de vous les diffuser (merci aux premiers lecteurs des versions pdf qui ont déjà joué le jeu). Je pense qu'il y a matière à apprendre ou à mieux comprendre certains aspects délicats par un énième éclairage. Je conçois ces pages plutôt comme des documents de travail que comme des notes de cours : les aspects importants ne sont pas toujours suffisamment mis en évidence à mon goût. Les cours enseignés à l'origine de ces fascicules étaient plutôt dispensés en dernière année de l'ENSAM ou en DEA, mais l'évolution progressive des enseignements et les nombreux rappels nécessaires font que les notions de bases sont aussi présentées. La bibliographie fournie (fascicule 1) est loin d'être exhaustive et - en particulier - ne fait pas référence aux autres documents consultables librement sur le web. C'est regrettable, mais je compte sur les lecteurs pour me donner ces références afin de les consulter et de les inclure dans une prochaine version (cette demande n'a pas rencontré beaucoup de succès à ce jour). Bonne lecture, en espérant que vous trouverez dans ces pages une aide à la compréhension et à la maîtrise des modélisations complexes que les machines informatiques actuelles permettent de mettre en oeuvre. Si vous utilisez une partie de ce document : merci de citer votre source "Gérard Coffignal, polycopié ENSAM, fascicule xx, "titre", pp yy-zz, année. Table des Matières / Fascicule 3 i © Gérard Coffignal 2003 Sommaire du Fascicule 3 Sommaire Général .............................................................................................................. a Théorème des Puissances Virtuelles .............................................................................. 1 Objectifs................................................................................................................................ 1 1 Introduction....................................................................................................................... 1 2 Une évidence qui est à la base de tout............................................................................ 3 3 Définitions......................................................................................................................... 6 3.1 Champ de vecteurs de test (vitesses virtuelles) dans un référentiel .................. 6 3.2 Taux de déformation de test (taux de déformation virtuel)............................... 11 3.3 Champ de vecteurs de test (vitesses virtuelles) rigidifiant................................ 13 4 Produits de test (ou puissances virtuelles) : définitions............................................ 14 4.1 Définitions élémentaires....................................................................................... 14 4.2 Produit de test (ou puissance virtuelle) d'un ensemble de forces..................... 15 4.2.1 Cas général : champ de vecteurs de test quelconque.......................................... 15 4.2.2 Cas particulier d'un champ de vecteurs de test rigidifiant.................................. 15 4.3 Produit de test (puissance virtuelle) d'un ensemble de quantités d'accélération................................................................................................................. 16 4.3.1 Cas général : champ de vecteurs de test quelconque.......................................... 16 4.3.2 Cas particulier d'un champ de vecteurs de test rigidifiant.................................. 16 5 Énoncé du Théorème des Produits de Test (ou Théorème des Puissances Virtuelles : TPV)................................................................................................................ 18 6 Démonstration du théorème des produits de test....................................................... 21 6.1 Un résultat intéressant........................................................................................... 22 6.2 Cas où les champs sont continûment différentiables......................................... 24 6.1.1 Cas général ......................................................................................................... 24 6.1.2 Cas particulier d'un champ de vecteurs de test rigidifiant.................................. 25 6.3 Cas où les champs sont continûment différentiables par morceaux................ 25 Gérard COFFIGNAL : Mécanique Non-Linéaire et éléments finis - version e.1.4 ii © Gérard Coffignal 2003 6.4 Remarque sur l'action d'isoler un système et la discontinuité du champ de vitesses virtuelles.......................................................................................................... 30 7 Équivalence entre le théorème des produits de test (théorème des puissances virtuelles) et le principe fondamental de la dynamique............................................... 31 8 Remarque......................................................................................................................... 32 9 Ecriture du Théorème des produits de test en se référant à la configuration initiale................................................................................................................................. 33 Modèles simplifiés de milieu continu ............................................................................. 36 Avant propos ....................................................................................................................... 36 1 Démarche générale ........................................................................................................ 36 principe de la démarche ............................................................................................... 36 démarche proprement dite........................................................................................... 38 déplacement généralisé ........................................................................................... 38 vitesse généralisée................................................................................................... 38 accélération généralisée........................................................................................... 38 taux de déformation généralisée ou vitesse de déformation généralisée.................. 38 déformation généralisée (linéarisée)........................................................................ 39 densité de puissance pdef associée à tous les points M dont le mouvement dépend d'un point G, et contrainte généralisée ................................................................... 39 modèle de comportement associé à tous les points M de sG ................................ 39 densité d'énergie cinétique T associée à tous les points M de sG , et contrainte généralisée............................................................................................................... 40 1 Etats plans de contrainte ou de déformation............................................................... 41 1.1 Contexte et notations ............................................................................................. 41 1.2 État plan de déformation........................................................................................ 43 1.3 État plan de contrainte ........................................................................................... 44 2 Plaques (Reissner-Mindlin) .......................................................................................... 45 • hypothèse cinématique de base : "segment traversant indéformable"............... 45 • déplacement généralisé............................................................................................. 46 • déformation généralisée (linéarisée) ...................................................................... 46 • vitesses virtuelles généralisées ................................................................................ 47 • quantité d'accélération généralisée et énergie cinétique..................................... 47 • contrainte généralisée............................................................................................... 48 • modèle de comportement associé au modèle plaque (Reissner-Mindlin)........... 48 3 Poutres droites 3D (Timoshenko, Reissner-Mindlin)................................................ 50 Table des Matières / Fascicule 3 iii © Gérard Coffignal 2003 • hypothèse cinématique de base : "section droite indéformable" ........................ 51 • déplacement généralisé............................................................................................. 51 • déformation généralisée (linéarisée) ...................................................................... 51 • vitesses virtuelles généralisées ................................................................................ 52 • quantité d'accélération généralisée et énergie cinétique..................................... 52 • contrainte généralisée............................................................................................... 53 • modèle de comportement associé au modèle poutre (Reissner-Mindlin) ........... 53 Formulation Lagrangienne Générale ........................................................................... 55 1 Introduction..................................................................................................................... 55 2 Formulation lagrangienne générale............................................................................ 60 2.1 Cinématique............................................................................................................ 62 2.2 Champ de vecteurs de test et quantités associées............................................... 65 2.3 Calcul du produit de test de déformation............................................................. 66 2.4 Cas particulier de loi de comportement incrémentale....................................... 67 3 Formulations "lagrangienne totale" et "lagrangienne actualisée"....................... 69 3.1 Formulations "lagrangienne totale" ................................................................... 69 3.2 Formulation "lagrangienne actualisée" ............................................................. 69 Théorème des Produits de Test / des Puissances Virtuelles a © Gérard Coffignal 2003 Sommaire Général (pour l'ensemble des fascicules) révisions : 30sep00, 7oct01, 11oct01, 6oct02, 7nov03 I Généralités sur la modélisation Fascicule 1 II Rappels Généraux Fascicule 1 III Bibliographie Fascicule 1 IV Notations Fascicule 1 V Milieu Continu Solide : Généralités Fascicule 2 VI Milieu Continu Solide : Cinématique Fascicule 2 VII Milieu Continu Solide : Dynamique Fascicule 2 VIII Milieu Continu Solide : Comportement Fascicule 2 IX Théorème des Produits de Test - Théorème des Puissances Virtuelles Fascicule 3 X Modèles simplifiés de Milieu Continu Fascicule 3 XI Formulation Lagrangienne Générale Fascicule 3 XII Le Problème de MMC Fascicule 4 XIII Méthode des Déplacements en HPP Fascicule 4 XIV Méthode des Éléments finis en HPP pour les Milieux Continus Solides Fascicule 5 XV Rappels élémentaires sur les Poutres 2D Bernoulli en HPP Fascicule 6 XVI Eléments Finis de Poutre 2D Bernoulli en HPP et Compléments Fascicule uploads/Geographie/ laboratoire-de-des-et-des-mecanique-systemes-procedes.pdf