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CALCUL NUMERIQUE DES CHAMPS ELECTROMAGNETIQUES ROBOTIQUE INDUSTRIELLE Semestre

CALCUL NUMERIQUE DES CHAMPS ELECTROMAGNETIQUES ROBOTIQUE INDUSTRIELLE Semestre 8 Emeric Tchamdjio Nkouetcha Ingénieur Industriel MSc en Systèmes d’énergie électrique Jean Ndoumbe PhD en Techniques de la Haute Tension / Systèmes d’énergie électrique Année Académique 2019/2020 [NOM DE L’AUTEUR] 1 Avant-Propos Comme tout système physique, l’étude de dispositifs électrotechniques nécessite généralement l’utilisation d’un modèle mathématique. Il est souvent obtenu sur la base de considérations physiques et d’hypothèses simplificatrices sur les formes géométriques, sur le comportement des matériaux, etc. Ce modèle, image approchée de la réalité, est en général basé sur des équations dont la complexité et le nombre peuvent être très variables. Ces équations relient des grandeurs qui peuvent être locales comme des champs de vecteurs ou globales comme des tensions ou des courants. Concernant les systèmes électrotechniques, leur comportement peut être tout d’abord représenté par des circuits électriques équivalents. Les paramètres de ces circuits ont en général une signification physique et sont souvent liés à des grandeurs globales comme le flux ou le courant dans les bobinages. Même si pour les circuits les plus complexes une résolution analytique est souvent difficile, la résolution numérique des équations ne pose en général pas de problèmes majeurs et conduit très rapidement à une solution approchée avec une très grande précision. Bien que cette dernière diffère de la solution du modèle mathématique, il n’en reste pas moins qu’elle en est, en général, très proche. Ces modèles simples, rapides et numériquement robustes, facilitent grandement l’étude de systèmes. Néanmoins, un nombre d’équations réduit est souvent obtenu au prix d’hypothèses simplificatrices contraignantes qui, pour certaines applications, ne peuvent être acceptables. Par exemple, pour les modèles basés sur des schémas équivalents des machines tournantes, on effectue souvent l’hypothèse d’une répartition sinusoïdale de l’induction dans l’entrefer. Cette hypothèse conduit alors à des modèles qui ne permettent pas de quantifier précisément les ondulations de couple ou les efforts locaux. Or, pour les applications où la discrétion vibratoire est un critère important, la prise en compte de ce genre de phénomène est indispensable. Par ailleurs, l’identification précise de certains paramètres du modèle (comme par exemple les inductances de fuites ou les réluctances d’entrefer) est souvent pratiquement impossible à partir de la géométrie du système (dimensions, agencement des différentes parties mécaniques) et des caractéristiques physiques des matériaux utilisés. Il faut donc soit avoir accès au système lui- même, l’identification est alors effectuée à partir de relevés expérimentaux ou bien on a recours à un modèle plus fin nécessitant comme paramètres d’entrée la géométrie et les caractéristiques des matériaux. Dans ce contexte, si l'on souhaite étudier, améliorer ou concevoir plus en détail un système électrotechnique complexe, l’utilisation d’un modèle numérique basé sur le calcul des champs électromagnétiques s’impose. Celui-ci s’appuie sur la résolution numérique des [NOM DE L’AUTEUR] 2 équations de Maxwell. Ces équations sont définies sur une partie de l’espace, appelée domaine d’étude. Il convient de le préciser et de définir des conditions aux limites à vérifier par les champs sur ses frontières. Ces équations associées aux conditions aux limites étant posées, il est nécessaire d’ajouter, pour que le modèle soit complet, une relation qui permet de prendre en compte le comportement des matériaux composant le système étudié. La résolution analytique du modèle mathématique ainsi défini est souvent impossible. La solution analytique n’est accessible que dans des cas très simples. On a alors recours à une méthode de discrétisation de ces équations qui consiste à rechercher une solution dans un espace de dimension finie. Ce dernier doit être choisi de manière à limiter les erreurs de discrétisation. On aboutit alors un modèle numérique qui génère un système matriciel souvent de grande taille que l’on construit et résout à l’aide d’un calculateur. Mais ici, la complexité du modèle est plus importante que celle que l’on rencontre avec les schémas électriques équivalents. Dans ce cours, nous nous proposons de présenter la démarche de construction d’un modèle numérique en utilisant la méthode des différences finies puis la méthode des éléments finis en électromagnétisme basse fréquence. Nous présentons tout d’abord les différents modèles mathématiques statiques et dynamiques qui sont employés dans le domaine de l’électrotechnique. On introduit ensuite, la méthode numérique simple basée sur les différences finies. Enfin, la discrétisation des équations avec la méthode des éléments finis sont alors présentées. [NOM DE L’AUTEUR] 3 Table des matières Avant-Propos ................................................................................................................ 1 Table des matières ........................................................................................................ 3 Chapitre 0 : GENERALITES SUR LES METHODES NUMERIQUES ............... 5 I. Histoire de MEF & AEF ...................................................................................... 7 II. Domaines d'application..................................................................................... 8 III. Quelle est la différence entre FEM et FEA ? .................................................. 10 IV. Électromagnétisme et analyses connexes ....................................................... 11 1. Zone d'application ....................................................................................... 11 2. Types d'analyse ........................................................................................... 12 Chapitre 1 : RAPPELS D’ELECTROMAGNETISME ......................................... 14 I. Les équations de Maxwell .................................................................................. 14 1. Loi de Gauss ............................................................................................... 14 2. Loi intégrale d’Ampère ............................................................................... 14 3. Loi de conservation de la charge................................................................. 15 4. Loi intégrale de Faraday ............................................................................. 16 5. Loi intégrale de Gauss du flux magnétique ................................................ 16 6. Théorème de la divergence ......................................................................... 16 7. Opérateur rot (curl) ..................................................................................... 17 8. Opérateur gradient....................................................................................... 17 9. Relations constitutives ................................................................................ 19 10. Opérateur de second ordre : opérateur de Laplace ...................................... 20 II. Champs électrostatiques, magnétostatiques et magnétodynamiques ............. 20 1. Champ électrostatique ................................................................................. 22 2. Équation de Laplace du champ électrique pour les milieux conducteurs ... 23 3. Champs magnétostatiques ........................................................................... 23 4. Le potentiel vecteur électrique .................................................................... 24 5. Champs magnétodynamiques (champs quasi-stationnaires basse fréquence) 24 Chapitre 2 : INTRODUCTION AUX METHODES NUMERIQUES ET METHODE DES DIFFERENCES FINIES ......................................................................... 26 I. Concepts généraux ............................................................................................. 26 Classification des problèmes électromagnétiques (EM) ...................................... 26 II. METHODE DES DIFFERENCES FINIES ................................................... 29 1. Différences finies pour les équations de Laplace et de Poisson ................. 30 2. Interfaces entre matériaux ........................................................................... 31 3. Conditions aux limites de Neumann ........................................................... 32 4. Représentation de circuit équivalente ......................................................... 33 Travaux dirigés N°1 ................................................................................................. 35 Chapitre 3 : METHODE DES ELEMENTS FINIS ................................................ 36 I. Analyse des éléments finis a une dimension ...................................................... 36 1. Discrétisation et interpolation ..................................................................... 36 2. Formulation ................................................................................................. 38 [NOM DE L’AUTEUR] 4 3. Assemblage des équations .......................................................................... 40 II. Analyse des éléments finis à deux dimensions ............................................... 48 1. Discrétisation de domaine ........................................................................... 49 2. Interpolation ................................................................................................ 50 3. Formulation variationnelle .......................................................................... 52 4. Assemblage en système d'équations ........................................................... 53 5. Incorporation des conditions aux limites du troisième type ....................... 54 Travaux dirigés N°2 ................................................................................................. 61 [NOM DE L’AUTEUR] 5 Chapitre 0 : GENERALITES SUR LES METHODES NUMERIQUES Le domaine du génie électrique (ou électromagnétisme) peut être subdivisé en trois grands domaines : • Électromagnétisme théorique • Électromagnétisme appliquée • Électromagnétisme computationnel L'électricité théorique traite des lois et principes fondamentaux de l'électromagnétisme étudiés pour leur valeur scientifique intrinsèque. L'électricité appliquée transfère ces connaissances théoriques à des applications scientifiques et techniques, notamment en ce qui concerne la construction de modèles mathématiques de phénomènes physiques. L'électromagnétisme computationnel résout des problèmes spécifiques par simulation grâce à des méthodes numériques mises en œuvre sur des ordinateurs numériques. Pour paraphraser une vieille blague sur les mathématiciens, on peut définir un électricien informaticien comme une personne qui recherche des solutions à des problèmes donnés, un électricien appliqué comme une personne qui recherche des problèmes qui correspondent à des solutions données, et un électricien théorique comme une personne qui peut prouver l’existence de problèmes et de solutions. L'analyse et la conception des équipements électriques est une tâche difficile en raison de certains aspects : • Géométrie complexe • Ensemble mixte de matériaux impliqués. Certains d'entre eux ont des caractéristiques non linéaires. • Des phénomènes mixtes sont présents : o Champ électromagnétique. o Aspects thermiques o Aspects mécaniques. • Aspects dynamiques (dépendance avec le temps). Dans quelques cas simples seulement, on peut trouver des solutions analytiques temporelles. La solution numérique est la seule méthode disponible pour trouver des réponses à de nombreux problèmes de conception d'équipements électriques. [NOM DE L’AUTEUR] 6 La première étape de l'analyse est la sélection des aspects considérés dans notre cas. D'autres aspects sont négligés ou ignorés. Cette étape est nommée MODÉLISATION. Cet aspect est la préoccupation de l'ingénieur théorique. La définition de l'univers d'analyse est liée à cette modélisation ; par exemple, si nous devons déterminer la distribution de la température dans une pièce, nous négligeons la variation de la température extérieure (cela est considéré comme une constante). Un autre aspect est le niveau de détail de l'analyse, par exemple : • Nous pouvons considérer tous les conducteurs dans une goulotte séparément ou ensemble. • On peut considérer une distribution discrète des courants ou une approximation continue de celle-ci. • Analyse statique ou dynamique (prise en compte ou non des variations de temps) • Etc. La deuxième étape d'analyse est la sélection d'une méthode numérique pour résoudre le problème. Ce processus est nommé DISCRETISATION du problème. Il existe quelques méthodes pour ce processus: • Éléments finis (MEF) • Élément frontière (MEFF) • Différence finie (MDF) • Méthode des moments (MM) • Méthode Montecarlo (MCM) La MDF est adéquate pour les problèmes linéaires avec une géométrie régulière et des problèmes uploads/Geographie/ lettre-de-demande-de-participation.pdf