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Université Ibn Tofail Master de mathématiques et applications Faculté des Scien

Université Ibn Tofail Master de mathématiques et applications Faculté des Sciences de Kénitra Parcours d’algèbre et théorie de représentation Département de Mathématiques Module de Géométrie Diﬀérentielle Notes de cours de Géométrie Diﬀérentielle MANSOURI MOHAMMED WADIA Année universitaire 2015-2016 Table des matières 1 Variétés diﬀérentiables 3 1.1 Variétés diﬀérentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Exemples de variétés diﬀérentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 L’espace Rn, La sphère et l’espace projectif . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Procédés de construction de variétés . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Sous-variétés de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Fonctions diﬀérentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Immersion. Submersion. Sous-variété de variété . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Immersion. Submersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Sous-variété de variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 Espace tangent, Champs de vecteurs 19 2.1 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Espace tangent à une sous-variété de Rm (Rappel) . . . . . . . 20 2.1.2 Espace tangent à une variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Application linéaire tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Déﬁnition et première propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Coordonnées sur l’espace tangent, (trivialisation locale) . . . . 26 2.3 Fibré tangent. Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Fibré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.3 variété parallélisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.4 Crochet de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.5 Image d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4 Courbes intégrales et ﬂots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.1 Courbes intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4.2 Flots et groupes de diﬀéomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3 Intégrales premieres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 TABLE DES MATIÈRES 3 3 Fibré cotangent, Formes diﬀérentielles 41 3.1 Fibré cotangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.1.1 1-forme diﬀérentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2 Le pullback d’une 1-forme diﬀérentielle . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Formes diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Algèbre extérieure sur un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . 45 3.2.2 Le ﬁbré vectoriel ΛpT ∗M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.2.3 Formes diﬀérentielles de degré p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2.4 Diﬀérentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.2.5 Pull-back des formes diﬀérentielles . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 La cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 Dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.1 Dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.4.2 Produit intérieur, Formule de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . 56 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4 ANNEXE 59 Chapitre 1 Variétés diﬀérentiables Sommaire 1.1 Variétés diﬀérentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Exemples de variétés diﬀérentiables . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 L’espace Rn, La sphère et l’espace projectif . . . . . . . . . 5 1.2.2 Procédés de construction de variétés . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Sous-variétés de Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Fonctions diﬀérentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Immersion. Submersion. Sous-variété de variété . . . . . . 13 1.4.1 Immersion. Submersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.2 Sous-variété de variété . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.1 Variétés diﬀérentiables Une variété diﬀérentiable est un objet mathématique, qui ressemble localement à Rn, où on peut généraliser la notion du calcul diﬀérentiel et intégral qu’on sait faire sur Rn(applications diﬀérentielles, sous-variétés, champs de vecteurs, formes diﬀéren- tielles... ). L’objectif est donc de généraliser les propriétés diﬀérentielles de Rn à des espaces considérés comme espaces de référence et non plus comme plongés dans un uploads/Geographie/ notes-de-cours-de-geometrie-differentielle-mansouri-mohammed-wadia.pdf