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RÉCIPROQUE D’UNE PROPRIÉTÉ  Les propriétés mathématiques (notamment au collège

RÉCIPROQUE D’UNE PROPRIÉTÉ  Les propriétés mathématiques (notamment au collège) sont souvent de la forme : « Si la partie 1 est vérifiée, alors la partie 2 est vérifiée ».** Exemple : On considère la proposition* : « Si j’habite en Normandie, alors j’habite en France. » La Normandie étant une région de France, une personne habitant en Normandie, habite donc en France. On dit que la proposition « Si j’habite en Normandie, alors j’habite en France. » est vraie. Cette proposition est alors appelée propriété. * Une proposition est une phrase mathématique ; cette phrase peut être vraie ou fausse. ** Une proposition formulée sous la forme « si …, alors … » est appelée une implication.  En inversant le sens de la proposition, « Si la partie 2 est vérifiée, alors la partie 1 est vérifiée », on en change complètement la signification. Cette nouvelle proposition est appelée proposition réciproque. Elle peut être vraie ou fausse. Exemple : La proposition réciproque de « Si j’habite en Normandie, alors j’habite en France. » est « Si j’habite en France, alors j’habite en Normandie. » Cette nouvelle proposition est fausse. Une personne vivant en France, n’habite pas forcément en Normandie. Cette proposition réciproque est fausse, ce n'est pas une propriété. Autre formulation : Soit P et Q deux propositions. La réciproque de l’implication « Si P, alors Q » est « Si Q, alors P ».  Complément : le mot « réciproque » dans le langage courant Exemple : Roméo Juliette Roméo aime Juliette. Juliette aime Roméo. On parle d’un « amour réciproque ». Petite note : Quand on étudie le théâtre classique (notamment les tragédies de Racine), on apprend la différence entre « amant » et « amoureux ». Un amant aime et est aimé ; un amoureux aime mais n’est pas forcément aimé en retour. Quand on dit qu’on est amoureux des mathématiques ?  Un exemple très important : le théorème de Pythagore Soit ABC un triangle.  Théorème de Pythagore : Si ABC est rectangle en A, alors 2 2 2 AB AC BC   .  Réciproque du théorème : Si 2 2 2 AB AC BC   , alors ABC est rectangle en A. La réciproque du théorème de Pythagore est vraie. Exercices Dans chaque cas : 1°) Préciser si la proposition énoncée est vraie ou fausse. Expliquer la réponse. 2°) a) Énoncer la proposition réciproque. Préciser si cette proposition réciproque est vraie ou fausse. b) Expliquer la réponse. 1 « Si j’habite à Londres, alors j'habite en Angleterre. » 2 « Si je prends mon parapluie, alors il pleut. » 3 « Si je suis en classe de 1ère, alors je suis lycéen. » 4 « Si j'ai moins de 18 ans, alors je suis mineur. » 5 « Si je suis fils unique, alors je n'ai pas de frère. » 6 « Si un nombre entier est pair, alors ce nombre est un multiple de 2. » 7 « Si un nombre entier se termine par 0, 3, 6 ou 9, alors ce nombre est un multiple de 3. » 8 « Si un nombre entier est divisible par 10, alors ce nombre est divisible par 2. » 9 « Si je suis un parallélogramme, alors mes diagonales se coupent en leur milieu. » 10 « Si je suis un losange, alors mes diagonales sont perpendiculaires. » 11 « Si je suis un carré, alors je suis un rectangle. » 12 « Si AI = IB, alors le point I est le milieu du segment [AB]. » uploads/Geographie/ reciproque-d-x27-une-propriete-logique-mathematique.pdf