W asan G.Huvent 21 décembre 2009 Les résultats qui suivent, sans être tous des

W asan G.Huvent 21 décembre 2009 Les résultats qui suivent, sans être tous des sangaku extraits de tablettes peuvent être classés dans les problèmes typiques de la mathématique traditionnelle japonaise : Le Wasan. 1 Trois cercles r2 = 8r1r2 Les notations sont celles de la figure. 2R 2b 2c r r2 r1 On a c + 2r1 = R et de même b + 2r2 = R. Or r = b + c −R d’où r = 2R −2 (r1 + r2) −R = ⇒R = r + 2 (r1 + r2) On en déduit que c = R −2r1 = r + 2r2 et b = r + 2r1 Mais la relation de Pythagore donne b2 + c2 = R2, soit (r + 2r1)2 + (r + 2r2)2 −(r + 2 (r1 + r2))2 = r2 −8r1r2 = 0. 1 2 Cercles inscrits dans un triangle rectangle r 2= + r 2 1 r 2 2 Les notations sont celles de la figure. A H B C c b a r r2 Les triangles CBA et HCA sont semblables. Le rapport de la similitude vaut AC AB = b c , on en déduit que r2 = b c r et par symétrie des rôles r1 = a c r On a donc r2 1 + r2 2 = b2 + a2 c2 r2 = r2 car ABC est rectangle en C 2 3 Deux cercles inscrits dans un arc. On considère un cercle C de rayon r et [A, B] une corde, on inscrit dans l’arc ↷ AB un cercle C2 de rayon r2 tangent à C et à la corde en son milieu. On construit alors un des deux cercles de rayon r3 tangent à C, C2 et à AB. On demande de prouver que r3 = r2 (r −r2) r Les notations sont celles de la figure. On sait que (il suffit d’écrire la relation de Pythagore dans le triangle ECF qui donne EF2 = (r2 + r3)2 −(r2 −r3)2) EF2 = 4r2r3 De plus OF = r −r3 EC = r2 −r3 et OE + CE = r −r2 = ⇒OE = r + r3 −2r2 La relation de Pythagore dans le triangle OEF conduit à (r + r3 −2r2)2 + 4r2r3 −(r −r3)2 = 0 soit (r −r3)2 −(r + r3 −2r2)2 = 4 (r2 −r3) (r −r2) = 4r2r3 d’où r3 = r2 (r −r2) r 3 4 Un sangaku de la préfecture de Saitama Ce sangaku dont la tablette n’a pas survécu, date de 1816. Etant donné un cercle et un triangle triangle rectangle inscrit dans ce dernier, on construit neuf cercles tangents intérieurement au cercle et aux côtés du triangle comme indiqué sur la figure. Si on note R le rayon du cercle jaune, r le rayon du cercle inscrit, non représenté, ρ1, ρ2 et ρ3 les rayons des cercles blancs tangents respectivement aux cercles bleus, rouges et verts. On sait que 2 (ρ1 + ρ2) = R −r et 8ρ1ρ2 = r2 (cf le premier sangaku) ρ3 = R 2 r1 = ρ1 (R −ρ1) R = ρ1 −ρ2 1 R et r2 = ρ2 −ρ2 2 R r3 = ρ3 −ρ2 3 R = R 4 Ainsi r1 + r2 = ρ1 + ρ2 −ρ2 1 R −ρ2 2 R = ρ1 + ρ2 −1 R
ρ2 1 + ρ2 2 + 2ρ1ρ2 −2ρ1ρ2  = ρ1 + ρ2 −1 R  (ρ1 + ρ2)2 −2ρ1ρ2  = R −r 2 −1 R R −r 2 2 −r2 4  = R 4 = r3 4 5 Trois triangles rectangles dans un triangle équilatéral. On considère un triangle équilatéral. Sur ses trois côtés, on construit intérieurement trois triangles rectangles isocèles et isométriques. Par intersection, ces triangles définissent un hexagone circonscriptible. On demande de calculer le rayon du cercle inscrit dans l’hexagone en fonction du côté du triangle. Les notations sont celles de la figure. Dans le triangle ODC, on a OD = a 2 tan π 6 = √ 3 6 a et puisque ACE est rectangle isocèle, AD = CD = a 2 . On e déduit que AO = a 2 − √ 3 6 a = a3 − √ 3 6 enfin OB = R = AOsin π 4 , soit R =  3 − √ 3  √ 2 12 a 5 6 Deux carrés dans un triangle rectangle. Dans un triangle rectangle ABC, on inscrit deux carrés s’appuyant sur la hauteur issue du sommet C opposé à l’hypothénuse. Il s’agit de prouver que, avec les notations de la figure, les segments FC et EC ont même longueur, ce qui implique que les deux triangles rouges sont isométriques. La présence des carrés permet d’affirmer que les angles FKC et CKE valent π 4 , on en déduit que FKE = π 2 . De cette égalité on en déduit que K, et C sont situés sur le cercle de diamètre [E, F]. D’après le théorème de l’arc capable, le segment [F, C] 6 est vu des points K et E sous le même angle, en particulier FKC = FEC = π 4 Le triangle CEF est donc rectangle isocèle ainsi FC = EC 7 Deux cercles égaux dans un triangle b c a L (b+c) -a = 4L 2 2 2 Le sangaku qui suit est mentionné sur une tablette datée de 1897 et localisée dans la préfecture de Chiba. Le même problème est mentionné dans un ouvrage daté de 1781 de Seiyo Sanpo. Etant donné un triangle ABC, on construit le point D du segment [B, C] tel que les cercles inscrits à ABD et ADC aient même rayon. On désigne par L la longueur AD, et par a, b et c les longueurs des côtés opposés à B, C et A, il s’agit de prouver la relation (b + c)2 −a2 = 4L2 La tablette d’origine demande le calcul de L en fonction de a, b et c et forunit le résultat L = p (p −a) où p = a + b + c 2 est le demi-périmètre du triangle. Les notations sont celles de la figure. r r h b c u v=a-u L j A D D B 7 Le rayon des cercles inscrits aux triangles ABD et ACD étant le même, on a 2r = hu b + L + u = hv c + L + v On obtient donc, après simplification par h, et passage à l’inverse b + L + u u = 1 + b + L u = 1 + c + L v = c + L + v v Compte tenu de a = u + v, on a (c + L) u = (b + L) (a −u) = ⇒u = a (c + L) (b + c + 2L) et par symétrie des rôles v = a (b + L) (b + c + 2L) La formule d’Al kashi dans les triangles ABD et ACD s’écrit L2 + u2 −2Lu cos ϕ = b2 ⇐ ⇒b2 −L2 = u (u −2L cos ϕ) L2 + v2 −2Lv cos (π −ϕ) = c2 ⇐ ⇒c2 −L2 = v (v + 2L cos ϕ) Or u = a (c + L) (b + c + 2L) = ⇒u (c −L) = a
c2 −L2 (b + c + 2L) = au (u −2L cos ϕ) (b + c + 2L) = ⇒(c −L) (b + c + 2L) = a (u −2L cos ϕ) v = a (b + L) (b + c + 2L) = ⇒v (b −L) = av (v + 2L cos ϕ) (b + c + 2L) = ⇒(b −L) (b + c + 2L) = a (v + 2L cos ϕ) d’où (b + c)2 −4L2 = (c −L) (b + c + 2L) + (b −L) (b + c + 2L) = a (u −2L cos ϕ + v + 2L cos ϕ) = a (u + v) On conclut avec a = u + v, pour obtenir (b + c)2 −a2 = 4L2 8 Trois cercles dans un triangle rectangle : Un sangaku de la préfecture de Nagano. r1 et ? r2 8 Ce sangaku est le dernier d’une série de quatre problèmes peints sur une tablette de 97×232 cm, exposée dans le sanctuaire shimizu, ville de Nagano. Etant donné un triangle rectangle ABC, on note C son cercle inscrit et D le pied de la hauteur issue de C. Ce point détermine deux cercles C1 et C2 tangents à C, à la hauteur CD et respectivement aux côtés CB et CA. On demande d’exprimer r1 et r2 en fonction du rayon r de C et des longueurs a et b respectivement. Les notations sont celles de la figure. En particulier, on note d la distance entre les points où les cercles C et C1 sont tangents avec le côté BC. On sait alors (cf le premier sangaku de [1]), que d = 2√rr1 uploads/Geographie/ sangaku-wasan-pdf.pdf

Documents similaires

Lycée Rue Ahmed Amara Le Kef Habib Gammar 2015-2016 Devoir de Synthèse N°1 4ème 0 0

Paradoxe du carré manquant apparente démonstration géométrique d'un résultat im 0 0

UNIVERSITÉ CADI AYYAD AMANJENA Luxury Resort ECOLE SUPERIEURE DE TECHNOLOGIES E 0 0

G.P. DS 03 27 Octobre 2007 DS SCIENCES PHYSIQUES MATHSPÉ calculatrice: autorisé 0 0

EXERCICE 1 (7 points) On considère la suite   n U définie par 0 n 1 n U 1 n 2 0 0

UNIVERSITE DE LA REUNION LABORATOIRE DE PHYSIQUE ET D’INGENIERIE MATHEMATIQUES 0 0

Le théodolite Exposé n 1 du module géodésie Enseignant: YSBAA Saadia Binôme : M 0 0

FREINET ET LE TRIANGLE PEDAGOGIQUE Jean HOUSSAYE Professeur à l’Université de R 0 0

1 Résumé Cours Optique Géométrique Module Optique Géométrique S2 Pr. Khalid Nou 0 0

TRIGONOMÉTRIE COURS DE TRIGONOMÉTRIE 1. Radian 2. Trigonométrie du cercle 2.1. 0 0

• Détails
• Publié le Jan 26, 2021
• Catégorie Geography / Geogra...
• Langue French
• Taille du fichier 0.5087MB