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Ressources pour la classe terminale générale et technologique Mathématiques Sér

Ressources pour la classe terminale générale et technologique Mathématiques Série S Enseignement de spécialité Ces documents peuvent être utilisés et modifiés librement dans le cadre des activités d'enseignement scolaire, hors exploitation commerciale. Toute reproduction totale ou partielle à d’autres fins est soumise à une autorisation préalable du Directeur général de l’enseignement scolaire. La violation de ces dispositions est passible des sanctions édictées à l’article L.335-2 du Code la propriété intellectuelle. 14 février 2012 © MENJVA/DGESCO ►eduscol.education.fr/prog Ressources pour le lycée général et technologique éduSCOL Introduction Un enseignement qui prend appui sur la résolution de problèmes Le programme de l’enseignement de spécialité de la terminale scientifique réintroduit l’algèbre linéaire au lycée. Mais l’algèbre linéaire du lycée des années 1980 s’appuyait sur les vecteurs du plan et de l’espace, et l’introduction des espaces vectoriels. L’entrée proposée aujourd’hui est matricielle : il s’agit de faire jouer un rôle à des tableaux de nombres, lorsqu’ils sont particulièrement adaptés à l’écriture et à la résolution de certains problèmes. La première partie du présent document présente donc des problèmes où l’introduction des matrices vient « naturellement » et apparaît comme une simplification d’écriture et de lecture. Le vocabulaire nouveau est introduit en situation. Les définitions et les théorèmes auxquels il est nécessaire de faire référence ne sont pas sortis du contexte du problème, au moins dans un premier temps. Une petite mise en ordre des notions nouvelles est proposée dans la seconde partie. Des définitions convenables et des théorèmes bien rédigés sont en effet indispensables au jalonnement des avancées mathématiques. Les professeurs sont invités, conformément à la recommandation du programme, à ne pas démarrer directement par la présentation des contenus théoriques exposés dans la seconde partie, mais à essayer la démarche proposée consistant à introduire les notions dans le cadre de problèmes à résoudre. Cette démarche semble aujourd’hui susceptible d’accrocher des élèves qu’il s’agit de conquérir et de convaincre de l’intérêt pour eux de la poursuite d’études scientifiques. La base de connaissances introduite en seconde partie permet ensuite une présentation d’autres contenus du programme, en se situant de nouveau dans le contexte de problèmes. Ainsi la troisième partie développe plus complètement certains thèmes mentionnés comme exemples dans le programme et ouvre des perspectives pour aborder d’autres sujets. On y trouvera notamment des connexions possibles avec la partie « arithmétique » du programme. Des liens vers des ressources sont régulièrement proposés. Il s’agit dans certains cas d’outils permettant de se libérer de quelques phases de calcul dont la conduite et l’achèvement éloigneraient trop les élèves du problème traité. On doit pouvoir insister le temps qu’il faut sur certains points de calcul dont la maîtrise est un réel objectif de l’enseignement, quitte à s’en remettre à d’autres moments aux outils dont on dispose aujourd’hui pour pouvoir concentrer l’attention des élèves sur le problème à résoudre et les raisonnements nécessaires pour y parvenir. Ministère de l’éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Février 2012 Mathématiques – Série S – Enseignement de spécialité – Matrices http://eduscol.education.fr Table des matières I. Quelques problèmes faisant apparaître des matrices .................................................... 4 A. Un problème à deux compartiments 4 1. Le problème............................................................................................................................. 4 2. Commentaires sur le problème................................................................................................ 4 3. D’autres façons d’écrire le problème ...................................................................................... 5 B. Étude, gestion et prévision économiques 6 1. Des tableaux de nombres pour la gestion................................................................................ 6 2. Élaboration d’un indice de prix............................................................................................... 7 3. Gestion des admissions et sorties dans un hôpital................................................................... 8 C. Le modèle d’urnes de T. & P. Ehrenfest 11 1. Présentation du problème ...................................................................................................... 11 2. Étude du cas N = 2 ................................................................................................................ 11 D. Représentation d’un graphe. Notion de connexité 15 1. Parcourir un graphe ............................................................................................................... 15 2. Matrice d’adjacence d’un graphe .......................................................................................... 16 3. Lire la connexité d’un graphe sur sa matrice d’adjacence..................................................... 17 E. Marches aléatoires 17 1. Marche aléatoire sur un segment........................................................................................... 17 2. Marche aléatoire aux sommets d’un tétraèdre....................................................................... 19 3. Un retour en arrière est-il possible ?...................................................................................... 20 F. Pertinence d’une page web 20 1. De la recherche dans une bibliothèque à la recherche dans un graphe.................................. 20 2. Un exemple............................................................................................................................ 21 3. Mesurer la pertinence ............................................................................................................ 21 4. Pertinence et probabilités ...................................................................................................... 23 G. Traitement de l’image 25 1. Numériser des images… imager les nombres ....................................................................... 25 2. Opérations sur les images...................................................................................................... 25 3. Comment modifier la forme d’une image ? .......................................................................... 26 4. Des matrices pour réaliser des transformations..................................................................... 27 II. Définitions et premiers calculs avec des matrices ..................................................... 28 A. Matrices. Opérations 28 1. Quelques définitions, quelques notations.............................................................................. 28 2. Addition, produit par un scalaire........................................................................................... 28 3. Produits de matrices .............................................................................................................. 29 4. Propriétés du produit des matrices carrées d’ordre n ............................................................ 30 Ministère de l’éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Page 2 sur 62 Mathématiques – Série S – Enseignement de spécialité – Matrices http://eduscol.education.fr B. Les matrices sont-elles inversibles ? 30 C. Puissances de matrices carrées d’ordre 2 ou 3 31 1. Quelques matrices particulières............................................................................................. 31 2. Diagonalisation éventuelle d’une matrice carrée d’ordre 2................................................... 33 D. Traitement matriciel des suites de Fibonacci 34 1. Recherche d’une formule « close » pour le terme général .................................................... 34 2. Trouve-t-on toujours une combinaison linéaire de suites géométriques ? ............................ 35 E. Retour sur les marches aléatoires 35 III. L’outil matrices à l’œuvre Compléments et exemples.............................................. 37 A. Matrices en arithmétique 37 1. Cryptographie : le chiffrement de Hill .................................................................................. 37 2. Approximation des nombres réels......................................................................................... 39 B. Matrices et probabilités 44 1. La fougère de Barnsley.......................................................................................................... 44 2. Triangles rectangles pseudo-isocèles. Points à coordonnées entières sur une hyperbole.................. 46 3. Le problème du collectionneur.............................................................................................. 48 4. Retour sur le modèle d’urnes de T. & P. Ehrenfest............................................................... 51 C. Suites liées par une relation non linéaire 53 1. Discrétisation......................................................................................................................... 54 2. Recherche d’un équilibre....................................................................................................... 56 3. Linéarisation autour du point d’équilibre (d/c , a/b).............................................................. 56 4. Modèle perturbé .................................................................................................................... 57 IV. Annexe : utiliser Scilab pour numériser des images................................................. 59 A. sLes matrices 59 1. Écriture.................................................................................................................................. 59 2. Opérations ............................................................................................................................. 59 B. Les couleurs 59 1. Principe du codage ................................................................................................................ 59 2. Affichage du dessin en 256 teintes de gris ............................................................................ 59 C. Les transformations 60 D. Les codes Scilab 60 1. Pour afficher une matrice M.................................................................................................. 60 2. Opérations ............................................................................................................................. 60 Ministère de l’éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Page 3 sur 62 Mathématiques – Série S – Enseignement de spécialité – Matrices http://eduscol.education.fr I. Quelques problèmes faisant apparaître des matrices Dans cette partie, le vocabulaire spécifique aux matrices et les opérations sur les matrices ne sont pas supposés connus. Lorsque la nécessité s’en fait sentir, des matrices sont introduites, sur lesquelles on peut faire des opérations (le produit de Cayley notamment, couramment utilisé sous le simple nom de produit, et qui est celui proposé par la calculatrice scientifique). La partie II proposera une étude plus systématique, mais la recommandation du programme est de commencer par des résolutions de problèmes motivant une introduction des matrices et non par une introduction ex nihilo de ces dernières et encore moins de l’algèbre linéaire. A. Un problème à deux compartiments 1. Le problème On conserve dans une enceinte une population d’êtres unicellulaires qui ne peuvent se trouver que dans deux états physiologiques désignés par A et B. On désigne par et les effectifs – exprimés en milliers d’individus − des deux sous-populations (correspondant à chacun des deux états A et B) à l’instant n. Des observations menées sur une assez longue période permettent d’estimer que 95% des unicellulaires se trouvant à l’instant n dans l’état A n’ont pas changé d’état à l’instant n + 1, non plus que 80% de ceux se trouvant à l’instant n dans l’état B ce qui se traduit par le système suivant : n a n b ⎨ 1 1 0,95 0,2 0,05 0,8 n n n n b b n n a a b a + + = + ⎧ = + ⎩ ( ) ∗ L’effectif total s’élève à 500 000 individus. 1 La population à l’instant 0 satisfait 0 375 a = . Faire le calcul des effectifs et pour n < n a n b 50. Peut-on faire une conjecture sur le comportement des suites ( ) n a et ( ) n b ? Effectuer de nouveaux essais en prenant d’autres valeurs initiales (mais un effectif total identique). 2 Quel est le comportement de la suite de terme général ? Conclure. Ministère de l’éducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO) Page 4 sur 62 Mathématiques – Série S – Enseignement de spécialité – Matrices http://eduscol.education.fr 2. Commentaires sur le problème Ce problème a été proposé dans le cadre d’une épreuve pratique de mathématiques. Les élèves utilisaient un tableur pour conjecturer la nature des suites ( ) n a et ( ) n b . À l’étape 36, si on fait abstraction des erreurs de calcul dues au logiciel, le système est stable : il y a 400 000 êtres dans l’état A et 100 000 dans l’état B. Pour uploads/Geographie/ scilab-in-french-maths-s-specialite-207893.pdf