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Optique géométrique par Gilbert Gastebois 1. La réfraction Loi de Descartes : n

Optique géométrique par Gilbert Gastebois 1. La réfraction Loi de Descartes : n1 sin i = n2 sin r ( cf : réfraction ) 2. Les lentilles minces dans les conditions de Gauss 2.1 Schéma du dioptre p = OA ( p < 0 ) p' = OA' ( p' > 0 ) R = OC ( R > 0 ) 2.2 relation du dioptre sin α = h/R n1 sin i = n2 sin r tan ( i -α ) = - h/p ( p < 0 ) tan ( α - r ) = h/p' Approximations de Gauss : les angles sont petits donc h est petit et O est très proche du dioptre ( rayons paraxiaux ). En pratique on impose h<R/10 On a alors sin ε = tan ε = ε donc α = h/R n1 i = n2 r i - α = - h/p α - r = h/p' donc i = α - h/p = h/R - h/p r = α - h/p' = h/R - h/p' n1 i = n2 r = n1 ( h/R - h/p ) = n2 ( h/R - h/p' ) donc n2 h/p' - n1 h/p= ( n2 - n1 )h/R donc n2 /p' - n1/p = ( n2 - n1 ) /R Relation de conjugaison des dioptres. La relation ne dépend pas de h donc tous les rayons partant de A convergent en A'. Le dioptre est donc stigmatique dans les conditions de Gauss. 2.3 Relation des lentilles minces Lentille mince : O est très proche des surfaces des deux dioptres. Air : indice = 1 Lentille: indice = n 1er dioptre ( n1 = 1, n2 = n ) : n /p1 = ( n -1) /R1 + 1/p ( R1 > 0 ) 2ème dioptre ( n1 = n, n2 = 1 ) : 1 /p' = (1 - n ) / R2 + n/p1 ( R2 < 0 ) donc 1/p' = ( n - 1 ) /R1 - ( n - 1 ) /R2 + 1 /p 1/p' - 1 /p = ( n - 1 )( 1 /R1 - 1 /R2 ) = 1/f ' = C Loi de Descartes pour les lentilles minces 2.4 Distance focale La distance focale f ' = OF ' est la distance entre le centre de la lentille et l'endroit où se forme l'image d'un objet placé à l'infini Si p est infini, 1 /p' = ( n - 1 )( 1 /R1 - 1 /R2 ) = 1/f ' = C 1/f ' = C = ( n - 1 )( 1 /R1 - 1 /R2 ) Lentilles convexes : R1 > 0 et R2 < 0 ou 1/R1 > 1/R2 donc f ' > 0 et C = 1/f ' > 0 ( F ' à droite du miroir ) Lentilles concaves : R1 < 0 et R2 > 0 ou 1 /R1 < 1 /R2 donc f ' < 0 et C = 1/f ' < 0 ( F ' à gauche du miroir ) 2.5 Formule de conjugaison de Newton B'A'/AB = FO/AF B'A'/AB = F'A'/OF' FO/AF = F'A'/OF' FA F'A' = OF OF' = - f² FA F'A' = - f² Loi de Newton pour les lentilles minces B'A'/AB = OA'/AO γ = A'B'/AB = OA'/OA = p'/p Formule du grandissement 2.6 Les lentilles sphériques hors conditions de Gauss On étudie la distance focale f = OF d'une lentille plan-convexe. f0 = (n-1)R OF = f L' = R cos i = ( R² - h²)1/2 d = R - L' = R - ( R² - h²)1/2 f ' = f + d = L cos α f ' = f + R - ( R² - h²)1/2 L = ( f '² + h² )1/2 n sin i = sin( i + α ) = sin i cos α + sinα cos i n = cosα + sinα/tan i = f '/L + h/L L'/h = f '/L + L'/L = ( f ' + L' )/L L = ( f ' + L' )/n donc L² = ( f '² + L'² + 2 f 'L' )/n² donc f '² + h² = ( f '² + L'² + 2 f 'L' )/n² ( n² -1 ) f '² + 2 f 'L' + n²h² - L'² = 0 f ' = ( L' + ( L'² - ( n² -1 ) ( n²h² - L'² ))1/2 )/( n² -1 ) ( L'autre signe n'a pas de signification physique ) f ' = ( L' + ( L'² - n4h² + n²L'² - L'² + n²h² )1/2)/( n² -1 ) f ' = ( L' + ( - n4h² + n²L'² + n²h² )1/2)/( n² -1 ) = ( L' + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) = ( ( R² - h²)1/2 + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) f + R - ( R² - h²)1/2 = ((R² - h²)1/2 + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) f = ((R² - h²)1/2 + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) - R + ( R² - h²)1/2 = ( n²(R² - h²)1/2 + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) - R f = R (n( n(1 - h²/R²)1/2 + (1 - n²h²/R²)1/2)/( n² -1 ) - 1) f = f0 (n( n(1 - h²/R²)1/2 + (1 - n²h²/R² )1/2)/( n + 1 ) - n + 1) ( f0 = R/(n-1) est la distance focale de la lentille ) Courbe f/f0 = f(h/R) pour n = 1,5 f0 = R/(n-1) f est indépendant de h pour h < 0,1R Pour h/R = 1/n = 0,667, fm = 0,171 f0 Valeur limite de f f n'existe que si R² - n²h² >= 0 donc si h/R <= 1/n ou sin i <= 1/n sin i = 1/n correspond à l'angle limite de sortie du rayon de la lentille où i + α = 90° Si h/R = 1/n, on a alors fm = R( n²(1 - 1/n²)1/2 )/( n² -1 ) - R = R n/( n² -1 )1/2 - R fm = R ( n/( n² -1 )1/2 - 1 ) = f0 ( n(n-1)1/2/(n+1)1/2 - n + 1 ) ( f0 = R/(n-1) est la distance focale de la lentille ) Valeur de f pour les petites valeurs de h ( h²/R² << 1 ) f = ( n²(R² - h²)1/2 + n ( R² - n²h² )1/2)/( n² -1 ) - R = ( n²R(1 - h²/R²)1/2 + nR( 1 - n²h²/R² )1/2)/( n² -1 ) - R f = ( n²R(1 - h²/2R² ) + nR( 1 - n²h²/2R² ))/( n² -1 ) - R = ( n²R - n²h²/2R + nR - n3h²/2R)/( n² -1 ) - R f = (n²R + nR - n²( n + 1)h²/2R - n²R + R )/( n² -1 ) = ( n + 1 )R/( n² -1 ) - n²( n + 1)h²/2R /( n² -1 ) = R/( n -1 ) - n²h²/2R /( n -1 ) f = R/( n -1 ) ( 1 - n²h²/2R²) = f0 ( 1 - n²h²/2R²) ( f0 = R/(n-1) est la distance focale de la lentille ) Pour que f soit supérieur à 99% de f0 ( Conditions de Gauss ) il faut n²h²/2R² < 0,01 donc h²/R² < 0,02/n² = 0,01 donc h/R < 0,1 On est dans les conditions de Gauss si le rayon de la zone utile ( du diaphragme ) est inférieur à R/10 ou si le diamètre est inférieur à f0/10 3. Les miroirs sphériques dans les conditions de Gauss 3.1 Schéma du miroir p = OA ( p < 0 ) p' = OA' ( p' < 0 ) R = OC ( R < 0 ) 3.2 relation des miroirs sphériques sin α = - h/R ( R < 0 ) tan (α - i ) = - h/p ( p < 0 ) tan (α + i ) = - h/p' ( p' < 0 ) Approximations de Gauss : les angles sont petits donc h est petit et O est très proche de la surface du miroir ( rayons paraxiaux ) En pratique on impose h<R/10 On a alors sin ε = tan ε = ε donc α = - h/R α - i = - h/p α + i = - h/p' donc 2 α = - h/p - h/p' = - 2 h/R donc 1/p' + 1 /p = 2 /R = 1/f ' = C Loi de Descartes pour les miroirs sphériques La relation ne dépend pas de h donc tous les rayons partant de A convergent en A'. Le miroir est donc stigmatique dans les conditions de Gauss. 3.3 distance focale La distance focale f ' = OF ' est la distance entre le centre du miroir et uploads/Geographie/ theorie-optique.pdf