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HEC MONTRÉAL VIX : estimation de l’indice de volatilité à partir des cumulants

HEC MONTRÉAL VIX : estimation de l’indice de volatilité à partir des cumulants de la distribution neutre au risque Par Adil CHHAIBI Sciences de la gestion (Ingénierie ﬁnancière) Mémoire présenté en vue de l’obtention du grade de maîtrise ès sciences (M.Sc.) Sous la direction de Pascal François 20 juin 2017 1 Résumé 15 juillet 2017 Depuis leur création dans les années 70, les options sont utilisées par les investisseurs pour la couverture, la spéculation, l’arbitrage, ou encore pour inférer de l’information de marché. Dans le présent mémoire, nous construisons la distribution implicite neutre au risque des rendements de l’indice S&P 500 selon la méthode de Figlewski (2008). Nous calculons ensuite les moments de cette distribution et testons la formule de Martin (2013) qui relie l’indice VIX au carré aux cumulants risque-neutres des rendements du S&P 500. L’étude sur la période 1996-2013 montre que les cumulants d’ordre 2 à 5 sont signiﬁcatifs mais leurs coeﬃcients ne sont pas conformes à la formule théorique de Martin (2013). 2 Remerciements Je tiens à remercier vivement les personnes qui ont cru en moi et qui m’ont permis d’achever ce mémoire. Je tiens à exprimer ma plus profonde gra- titude à mon directeur de mémoire, Monsieur Pascal François, pour ses conseils avisés, sa bienveillance et le temps qu’il a consacré à la lecture et la relecture de plusieurs parties de ce travail. Monsieur François fut, pour moi, un directeur de recherche attentif et disponible, en dépit de ses nombreux engagements. Sa com- pétence, sa rigueur et sa clairvoyance m’ont beaucoup appris. Je suis également très reconnaissant envers les membres de mon jury. Ma gratitude va, aussi, à tous mes ami(e)s ainsi qu’aux personnes qui m’ont aidé, de près ou de loin, dans la réalisation de ce travail. Je remercie toutes les personnes formidables que j’ai rencontrées à HEC Montréal. Votre soutien et vos encouragements ont été décisifs. J’aimerais, enﬁn, remercier du fond du cœur mes amis les plus proches ainsi que ma famille, et plus particulièrement mes parents, qui m’ont apporté un soutien inconditionnel tout au long de mes études. 3 Table des matières 1 Introduction 7 2 Revue de littérature 9 2.1 L’indice VIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.1 Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.1.2 Corrélation entre l’indice VIX et le S&P500 . . . . . . . . 10 2.1.3 Modélisation du VIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 L’indice VIX et les cumulants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 L’histogramme implicite neutre au risque . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.1 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.3.2 Forces et faiblesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4 L’interpolation directe des prix des options . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.1 Méthodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4.2 Forces et faiblesses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 Méthodologie de l’estimation du VIX 18 3.1 L’estimation de la densité implicite neutre au risque . . . . . . . . 18 3.1.1 Estimation du milieu de la densité implicite neutre au risque 18 3.1.2 Estimation des queues de la densité implicite neutre au risque 24 3.2 La densité des prix relatifs et la densité des rendements . . . . . . 28 4 Description des données 31 5 Résultats 32 5.1 Les statistiques descriptives de l’estimation à partir des log-rendements 32 5.2 L’analyse des sous-périodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 5.3 L’analyse par composante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6 Conclusion 36 7 Annexes 38 Références 44 4 Table des ﬁgures 1 L’indice VIX et l’indice S&P500 (1996-2014) . . . . . . . . . . . . 10 2 La corrélation dynamique dans le temps entre le VIX et l’indice SP500 (1996-2014) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3 La moyenne des bids et des asks des options avec une interpolation cubique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 Les volatilités implicites pour toutes les options d’achat et toutes les options de vente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5 Les volatilités implicites avant et après la spline cubique . . . . . 23 6 Le milieu de la distribution implicite neutre au risque . . . . . . . 23 7 La distribution implicite neutre au risque complète avec les queues 27 8 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 9 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 5 mars 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 10 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 31 mars 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 11 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 3 septembre 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . 39 12 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 1er mai 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 13 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 27 février 2001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 14 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 4 juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 15 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 30 septembre 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . 41 16 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 6 février 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 17 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 10 septembre 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . 41 18 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 30 mars 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 19 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 25 février 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 20 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 1er août 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 21 Les deux densités implicites neutres aux risques des prix et des log-rendements du 11 juillet 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Geographie/ vix-estimation-de-l-x27-indice-de-volatilite-a-partir-des-cumulants-de-la-distribution-neutre-au-risque.pdf