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H. Fabbro - Lycée Masséna (Nice) ECS1 821 - 2019-2020 Espaces probabilisés quel

H. Fabbro - Lycée Masséna (Nice) ECS1 821 - 2019-2020 Espaces probabilisés quelconques et généralités sur les variables aléatoires réelles 1 Expérience aléatoire et univers Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat n’est pas connu à l’avance et peut varier si on la répète. L’ensemble des résultats possibles est alors appelé l’univers (ou l’univers des possibles ou univers des résultats observables). Un élément de l’univers est appelé un possible ou une issue ou une éventualité. Expérience 1 On lance un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on lit le numéro de la face supérieure. L’univers est Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Expérience 2 On lance n fois de suite un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 et on note les numéros obtenus. L’univers est Ω= {1, 2, 3, 4, 5, 6}n. Expérience 3 On demande à un ordinateur de donner un entier naturel au hasard. L’univers est Ω= N ; il est dénombrable. Expérience 4 On lance une inﬁnité de fois une pièce ayant 0 sur une face et 1 sur l’autre face puis on lit le numéro obtenu. L’univers Ωest l’ensemble des suites inﬁnies de 0 et de 1 ; il est non dénombrable. Expérience 5 On lance un dé cubique non pipé dont les faces sont numérotées de 1 à 6 jusqu’à ce que le 6 apparaisse sur la face supérieure. Les éléments de l’univers Ωsont soit des suites inﬁnies de nombres de l’intervalle d’entiers 〚1, 5〛 soit des suites ﬁnies de nombres de 〚1, 6〛composées d’un 6 en dernière position et nulle part ailleurs. Expérience 6 On s’intéresse à la durée de vie d’un composant électronique. L’univers est Ω=]0, +∞[. 2 Espace probabilisable 2.1 Tribus d’événements Lors d’une expérience aléatoire, on s’intéresse à certaines parties de l’univers (composées d’issues), parties que l’on appellera événements. Reprenons l’expérience 1. La partie A = {2, 4, 6} de Ωest l’événement « le numéro obtenu est pair». Reprenons l’expérience 5. Pour n ∈N∗, l’ensemble des suites à n termes dont les n −1 premiers termes sont dans 〚1, 5〛et le dernier est 6 est l’événement An : « on obtient 6 pour la première fois au n-ième lancer». L’événement A0 : « on n’obtient jamais 6 » est l’ensemble des suites inﬁnies de nombres de 〚1, 5〛. On veut déﬁnir un cadre mathématique général pour décrire ces événements, c’est-à-dire déﬁnir un sous-ensemble de P(Ω) qui serait l’ensemble des événements et qui remplirait les deux conditions suivantes : (1) on peut attribuer à chaque événement une probabilité (on verra plus loin ce que cela signiﬁe), (2) les événements respectent certaines régles de calcul «utiles et simples». Une première idée est de toujours prendre pour ensemble des événements P(Ω) : il n’est alors pas toujours possible de satisfaire les conditions précédentes (1) et (2) à la fois (lorsque Ω= R par exemple). L’idée est alors de ne pas nécessairement attribuer à chaque A ∈P(Ω) une probabilité, et donc de ne pas prendre toute partie de Ωcomme événement. Il ne reste plus qu’à ces événements à remplir la condition (2). Si A et B sont deux événements, on a envie que A, A ∪B et A ∩B soient aussi des événements. Par ailleurs, reprenons l’expérience 5. Pour n ∈N∗, on considère à nouveau l’événement An : « on obtient 6 pour la première fois au n-ième lancer». On veut pouvoir parler de l’événement +∞ [ n=1 An : «on eﬀectue un nombre ﬁni de lancers». Si l’univers Ωest inﬁni, il peut donc être également intéressant qu’une union dénombrable d’événements soit un événement. Toutes ces considérations amènent naturellement la déﬁnition suivante : 1/10 H. Fabbro - Lycée Masséna (Nice) ECS1 821 - 2019-2020 Soit Ωun univers. Une tribu (ou σ-algèbre) de Ωest un sous-ensemble A de P(Ω) vériﬁant 1. Ω∈A, 2. A est stable par passage au complémentaire, i.e. si A ∈A alors A ∈A, 3. A est stable par réunion au plus dénombrable, i.e. si I est un sous-ensemble de N (ﬁni ou inﬁni) et si (Ai)i∈I est une famille d’éléments de A alors [ i∈I Ai ∈A. Tout élément de la tribu A est appelé un événement de Ω. Le couple (Ω, A) est appelé espace probabilisable. Déﬁnition 1 Toute tribu d’un univers Ωcontient ∅et est stable par intersection au plus dénombrable. Propriété 2 Remarque 3 1. Si Ωest ﬁni alors P(Ω) est ﬁni. Dans ce cas, la stabilité par réunion au plus dénombrable est équivalente à la stabilité par réunion ﬁnie (ou même de deux parties). 2. Si l’univers Ωest ﬁni ou dénombrable, on prend le plus souvent A = P(Ω) comme tribu. 2.2 Vocabulaire Soient (Ω, A) un espace probabilisable, A, B deux événements de Ωet (Ai)i∈I une famille d’événements de Ω indexée par une partie inﬁnie I de N. — L’événement Ωest appelé événement certain de Ω. L’événement ∅est appelé événement impossible de Ω. — Un événement qui est un singleton est appelé événement élémentaire. — L’événement A est appelé événement contraire de A. — L’événement A ∪B est l’événement A ou B (le "ou" n’étant pas exclusif). — L’événement A ∩B est l’événement A et B. — Lorsque A ⊂B, on dit que A implique B. — Si A ∩B = ∅, on dit que les événements A et B sont incompatibles ou disjoints. — L’événement [ i∈I Ai est l’événement «au moins un des Ai (i ∈I) se réalise». — L’événement \ i∈I Ai est l’événement «tous les Ai (i ∈I) se réalisent». Déﬁnition 4 Soient (Ω, A) un espace probabilisable et (Ai)i∈I une famille d’événements de Ω, où I est une partie (ﬁnie ou inﬁnie) de N. On dit que (Ai)i∈I est un système complet d’événements de Ωsi et seulement si les deux conditions suivantes sont vériﬁées : (i) [ i∈I Ai = Ω (ii) ∀(i, j) ∈I2, i ̸= j = ⇒Ai ∩Aj = ∅ Déﬁnition 5 2/10 H. Fabbro - Lycée Masséna (Nice) ECS1 821 - 2019-2020 Attention : si Ωn’est pas au plus dénombrable alors l’ensemble des singletons de Ωn’est pas un système complet d’événements. 2.3 Tribus engendrées par une famille d’événements Soit Ωun univers. Pour tout sous-ensemble B de P(Ω), il existe une unique tribu notée A(B) telle que 1. B ⊂A(B) 2. pour toute tribu A′ de Ω: B ⊂A′ = ⇒A(B) ⊂A′ A(B) est la plus petite tribu pour l’inclusion contenant B : elle s’appelle la tribu engendrée par B. Théorème 6 Remarque 7 Si B est une tribu de Ωalors A(B) = B. Soient Ωun univers et (Ai)i∈I un système complet d’événements de Ω. Alors : A (Ai)i∈I =    [ j∈J Aj J ⊂I    Proposition 8 3 Espace probabilisé 3.1 Déﬁnition d’une probabilité On considère une expérience aléatoire et un événement A. Si on répète n fois cette expérience aléatoire dans des conditions identiques, la fréquence de réalisation de A est nA n , où nA est le nombre de fois où A a été réalisé au cours de ces n expériences. Lorsqu’on reproduit plusieurs fois ce procédé, la quantité nA n ﬂuctue d’autant moins que n est grand : cette quantité se stabilise alors autour d’une valeur limite (loi faible des grands nombres) que l’on note ici fA. On peut dégager trois propriétés des nombres fA : 1. Pour tout événement A, on a fA ⩾0. 2. Si Ωest l’univers, on a fΩ= 1. 3. Pour tout couple d’événements incompatibles (A, B), on a fA∪B = fA + fB. Ceci amène donc naturellement la déﬁnition axiomatique suivante d’une probabilité due à Kolmogorov (sans utiliser ni observer une quelconque expérience aléatoire) : 3/10 H. Fabbro - Lycée Masséna (Nice) ECS1 821 - 2019-2020 Soit (Ω, A) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur (Ω, A) toute application P : A − →R vériﬁant les conditions suivantes : (1) ∀A ∈A, P(A) ⩾0 (2) P(Ω) = 1 (3) Si (Ai)i∈I est une famille d’événements deux à deux incompatibles de A avec I une partie inﬁnie de N, alors la série X i∈I P(Ai) converge et P [ i∈I Ai ! = X i∈I P(Ai) (σ-additivité) Le triplet (Ω, A, P) est appelé espace probabilisé et pour tout A ∈A, le nombre P(A) est appelé probabilité de l’événement A. Déﬁnition 9 3.2 Propriétés d’une probabilité Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé. (i) P(∅) = 0 (ii) Si A1, . . . , An sont des événements deux à deux incompatibles alors P n [ i=1 Ai ! = n X i=1 P(Ai) (additivité) En particulier, si A et B sont deux événements incompatibles alors P(A ∪B) = P(A) + P(B). (iii) ∀(A, B) ∈A2, P(A \ B) = P(A) −P(A ∩B) En particulier, si B ⊂A alors P(A \ B) = P(A) −P(B). (iv) ∀A ∈A, P(A) = 1 −P(A) (v) ∀A ∈A, 0 ⩽P(A) ⩽1 (vi) Si A et B sont deux événements tels que A ⊂B alors P(A) ⩽P(B). (vii) ∀(A, B) ∈A2, uploads/Histoire/ 821-cours-21-espacesprobabilisesgeneralitessurvar.pdf