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CVM/LMR TS2B-3214LMR Mr BARRO/BARRONTIC 1 TAPER BARRONTIC DANS GOOGLE CALCUL DE

CVM/LMR TS2B-3214LMR Mr BARRO/BARRONTIC 1 TAPER BARRONTIC DANS GOOGLE CALCUL DE PROBABILITE. I-EXPERIENCE ALEATOIRE ET EVENEMENT On lance un dé non pipé et on note le numéro de la face supérieure. On ne peut pas prévoir à l’avance le résultat de cette expérience. On dit que c’est une expérience aléatoire. Chacun des résultats possibles ({1}, {4}, {5}.......) est un événement élémentaire . L’ensemble des résultats possibles de cette expérience, noté Ω est appelé Univers de l’expérience. { } 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = Ω . Toute partie A de Ω est un événement. Il est constitué d’événements élémentaires. Par exemple A = {1 ; 3 ; 5} est un événement. On peut aussi définir cet événement A ainsi : « le numéro de la face apparue est impaire ». Voici d’autres exemples d’expériences aléatoires : - le tirage d’une carte d’un jeu de 32 cartes - le lancer d’une punaise. - le tirage de boules dans une urne. - le sexe d’une naissance. Un événement est dit réalisé s’il contient le résultat de l’expérience. Par exemple si à l’issue d’un lancé la face 5 apparaît, on dit que A est réalisé. L’événement « le numéro de la face apparue est inférieur à 7 » est Ω . C’est l’événement certain. L’événement « le numéro de la face apparue est supérieur à 7 » est ∅. C’est l’événement impossible. Il ne se réalise jamais. Deux événements sont incompatibles lorsque leur intersection est vide ; ils ne peuvent pas se réaliser en même temps. Par exemple : A = {1 ; 3 ; 5} et C = {2 ; 6} sont incompatibles. L’événement contraire d’un événement est le complémentaire dans Ω de cet événement. Exemple : Pour A = {1 ; 3 ; 5} , A = {2 ; 6; 4} On a : AA = Ω et A A = ∅. II- Probabilité d’un événement 1-Définition On appelle probabilité sur un l’univers Ω toute application P : Ω [ ] 1 ; 0 → ,vérifiant - P( 1 ) = Ω - Pour des événements A et B tels que Φ = ∩B A on a P(A∪B)= P(A) + P(B). Conséquences : - P (∅) = 0 - La probabilité d’un événement A est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent. - La somme des probabilités des événements élémentaires est égale à 1. 2-Propriétés Soit A et B deux événements. i) P( ) ( ) A P A − =1 ii)P(A ) ( ) ( ) ( ) B A P B P A P B ∩ − + = ∪ CVM/LMR TS2B-3214LMR Mr BARRO/BARRONTIC 2 TAPER BARRONTIC DANS GOOGLE 3-Probabilité uniforme Lorsque les événements élémentaires ont la même probabilité : on dit qu’il y a équiprobabilité. Lorsque qu’il y a équiprobabilité: - la probabilité d’un événement élémentaire wi est P(wi) = Ω card 1 - P(A) = Ω card cardA = possibles cas de nombre favorables cas de nombre Remarque : Dans certains cas la probabilité des événements élémentaires ne sont pas égales. On dit que la probabilité est non uniforme. APPLICATION : EN CLASSE III-PROBABILITES CONDITIONNELLES 1-Définition Soit A et B sont deux événements d’une expérience aléatoire avec 0 ) ( ≠ B P , La probabilité conditionnelle de A sachant B est le nombre réel noté : PB(A) ou ) ( B A P ) ( ) ( ) ( ) / ( B P B A P A P B A P B ∩ = = 2-Application : Application1 : Dans une urne contenant 3 boules numérotées de 1 à 3, on tire successivement avec remise. On considère les événements suivants A : « Obtenir une somme paire de numéros ». B : « Obtenir au moins un numéro 3 ». 1) Déterminer l’ensemble des résultats possibles Ω puis les ensembles A et B. 2) Calculer P(A) ; P(B) ; PA(B) . Application2 : Une population de 1000 individus contient 20% de couleur bleue.10% des individus sont bleus et riches. On prend au hasard un individu bleu .Quelle est la probabilité pour qu’il soit riche ? 2-Propriétés 3-Probabilité de l’intersetion a-Propriété : Soit P une probabilité définie sur Ω . A et B deux événements tels que P(A)≠0 et P(B) ≠0 b-Application: A1 : Dans un sac contenant 3 boules blanches et 5 rouges, on tire 2 boules successivement sans remise. On considère les évènements suivants : A : « La 1ère boule tirée est une boule blanche ». B : « La 2 éme boule tirée est une boule rouge ».Calculer P (A) ; PA(B) ; P(A∩B). Soit C un événement tel que ( ) 0 P C ≠ alors a) Pour tout événement A, 0 ( / ) 1 P A C ≤ ≤ b) P( ) ( ) / 0 / 1 C et P C Φ = Ω = c) Soit A , B des événements incompatibles deux à deux : ( ) ( ) ( ) / / / P A B C P A C P B C ∪ = +     P ( ) ( ) / ( ) ( ) / ( ) A P A B P B P B A P B A = = ∩ CVM/LMR TS2B-3214LMR Mr BARRO/BARRONTIC 3 TAPER BARRONTIC DANS GOOGLE A2 : Un lycée compte 100 élèves parmi lesquels 45 filles et 55 garçons. Parmi les filles,30% sont internes et 70% sont externes. Parmi les garçons 60% sont internes et 40% externes. On tire au hasard une fiche dans le fichier des élèves du lycée. On veut déterminer la probabilité d’obtenir une fille externe CORRECTION : EN CLASSE Correction application1 Correction application2 Utilisons l’arbre ci – dessous « la fiche est celle d’une fille externe » Le chemin représente la réalisation simultanée des événements F et E c’est à dire F E ∩ . La probabilité inscrite sur la branche est celle d’une externe parmi les filles. On dit que c’est la probabilité d’obtenir une externe sachant que la fiche tirée est celle d’une fille . elle est égale à ) / ( F E P Donc la probabilité d’obtenir une fille externe est p( ) F E ∩ = ) / ( F E P P(F) C’est le produit des probabilités inscrites sur le chemin correspondant à F E ∩ : P( F E ∩ ) = 0 ,45 × × × ×0,7 = 0,315 F I E I E G F 0.7 E 0.45 F 0.7 E CVM/LMR TS2B-3214LMR Mr BARRO/BARRONTIC 4 TAPER BARRONTIC DANS GOOGLE 4-Evénements indépendants a- Définition : Deux événements A et B sont dits indépendants si et seulement si ) ( ) ( ) ( B P A P B A P = ∩ b-Propriété : Remarque : Deux évènements sont indépendants lors que la réalisation de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre FORMULE DES PROBABILITES TOTALES Exemple Dans l’entrepôt d’une usine de fabrication de clous, 50% des clous sont fabriqués par la machine I, 30% par la machine II et 20% par la machine III . Parmi les clous fabriqués par la machine I ,3% sont défectueux. Parmi ceux fabriqués par la machine II, 5% sont défectueux et parmi ceux fabriqués par la machine III , 8% sont défectueux .On choisit un clou au hasard . Quelle est la probabilité pour qu’il soit défectueux. ? Solution On pose A= l’évènement « le clou est défectueux » E1 = l’événement « le clou provient de la machine I » E2 = l’événement « le clou provient de la machine II » E3 = l’événement « le clou provient de la machine III » Les informations données dans l’énoncé se traduisent de la façon suivante CORRECTION : EN CLASSE Si B1 , B2…………Bn forment une partition de Ω alors la probabilité d’un événement A est donnée par : ) ( .... .......... ) ( ) ( ) ( 2 1 n B A P B A P B A P A P ∩ + ∩ + ∩ = i P(A)= ) ( ) / ( ..... .......... ) ( ) / ( ) ( ) / ( 2 2 1 1 n n B P B A P B P B A P B P B A P + + + = = n i i i B P B A P 1 ) ( ) / ( Si A et B sont indépendants alors P(A/B) = P(A) et P(B/A) = P(B). CVM/LMR TS2B-3214LMR Mr BARRO/BARRONTIC 5 TAPER BARRONTIC DANS GOOGLE I-Notion de variable aléatoire,définition   Un jeu consiste à tirer deux boules au hasard d’une urne contenant trois boules blanches et cinq boules noires. On gagne 100 F par boule blanche tirée et on perd 50 F par boule noire tirée. On désigne par X la somme gagnée ou perdue. 1) Peut-on prévoir les valeurs de X. 2) Quel est l’ensemble X(Ω) des valeurs possibles de X uploads/Histoire/ cours-de-probabilite-ts2-3214lmr.pdf