Traitement du Signal 2001 – Volume 18 – n°5-6 419 Méthodes d’analyse du mouveme

Traitement du Signal 2001 – Volume 18 – n°5-6 419 Méthodes d’analyse du mouvement brownien fractionnaire : théorie et résultats comparatifs Analysis methods for fractional brownian motion: theory and comparative results par Rachid JENNANE*, Rachid HARBA*, Gérard JACQUET** *Laboratoire d’Electronique, Signaux, Images EA 1715 et GDR ISIS du CNRS ESPEO, Université d’Orléans, BP 6744, 45067 Orléans Cedex 2. Tél : 33 2 38 49 45 38 Fax : 33 2 38 41 72 45 e-mail : Rachid.Jennane@univ-orleans.fr e-mail : Rachid.Harba@univ-orleans.fr **Laboratoire Traitement du Signal et Instrumentation UMR 5516 et GDR ISIS du CNRS Université de Saint-Etienne, 23, rue Paul Michelon 42023 Saint- Etienne Cedex 2. Tél : 33 4 77 48 50 24 Fax : 33 4 77 48 50 39 e-mail : Jacquet@univ-st-etienne.fr résumé et mots clés Cet article a pour objectif de comparer les performances des différents estimateurs du paramètre H du mouve- ment brownien fractionnaire (fBm) sur des signaux théoriquement exacts synthétisés par la méthode de Cholesky. Des ensembles de 100 signaux de taille N = 32 à 1024 par puissance de 2 sont générés pour des valeurs du para- mètre H variant de 0.1 à 0.9 par pas de 0.1. Les principales méthodes d’estimation ont été regroupées en quatre classes : les méthodes géométriques, les méthodes temporelles, les méthodes fréquentielles, et enfin les méthodes basées sur une décomposition multi-échelles. Chaque technique a été évaluée en termes de biais et de variance, cette dernière étant comparée à la borne de Cramer-Rao (BCR). Des tests statistiques montrent que seul l’estimateur par maximum de vraisemblance (EMV) est efficace (non biaisé et atteignant la BCR) pour toutes les valeurs de H et de N testées. Ce résultat expérimental complète les résultats théoriques d’efficacité de l’EMV démontrés par Dahlhaus uniquement dans le cas asymptotique [1]. D’un point de vue pratique, l’implémentation de l’EMV devient d’un coût calculatoire important pour des signaux de grande longueur. L’approche de Whittle du maximum de vraisemblance dans le domaine fréquentiel permet de lever ces limitations, cette technique étant asymptotiquement efficace. Enfin, des résultats montrent que l’approche EMV permet de traiter le cas des signaux fBm pollués par un bruit. Mouvement brownien fractionnaire, fBm, maximum de vraisemblance, méthode de Whittle. abstract and key words In this paper, several analysis methods for fractional Brownian motion are studied using reference test signals generated by the Cholesky procedure. Several sets of 100 signals having sample size ranging from N = 32 to 1024 by power of 2 are generated for H = 0.1 to 0.9 by steps of 0.1. Analysis techniques of the H parameter among the most well known in signal processing are studied. They are grouped in four categories: frequency based methods, geometrical methods, time methods, and multi-resolution methods. Quality of these estimators is assessed in terms of bias and variance. The variance is compared to the Cramer-Rao lower bound (CRLB). Statistical tests show that only the maximum likelihood estimator (MLE) is efficient (unbiased and reaches the CRLB) for every H and N tes- ted. This experimental result about the efficiency of MLE extends that demonstrated by Dahlhaus only in the 1. introduction Le mouvement brownien fractionnaire (fBm pour fractional Brownian motion) de paramètre H tel que 0 < H < 1 est un modèle non stationnaire de signaux fractals stochastiques [2]. Les incréments de ce processus, nommés bruits gaussiens frac- tionnaires (fGn pour fractional Gaussian noises), sont station- naires. Ces deux modèles ont tout d’abord été utilisés pour modéliser des signaux issus de phénomènes physiques tels que des bruits en 1/f [3], des séries économiques [4], et plus récem- ment des données de trafic Ethernet [5]. En deux dimensions, le paramètre H permet de quantifier la notion intuitive de rugosité d’une image [6]. Il est alors employé pour caractériser des tex- tures [7] ou pour analyser des surfaces [8]. Lors de l’application du modèle fBm à un cas concret, il convient dans un premier temps de se soucier du caractère frac- tal des signaux expérimentaux (signaux discrets de longueur finie). Des méthodes ont déjà été proposées pour s’assurer de l’adéquation entre le modèle fBm et des signaux réels [9][10]. Dans un deuxième temps, il est nécessaire d’estimer aussi pré- cisément que possible le paramètre H. Il existe de nombreuses méthodes qui permettent de réaliser cette tâche et il est difficile d’en choisir une a priori. Théoriquement, même si des résultats d’efficacité asymptotique sont démontrés pour certains estima- teurs [1], rien ne permet de connaître leur comportement dans toutes les circonstances (signaux de longueur réduite, sensibilité au bruit…). Il est donc nécessaire de mener des études expéri- mentales pour mieux cerner les potentialités des estimateurs. Ces études reviennent à tester ces diverses méthodes sur des signaux fBm de synthèse [11][12]. Dans la première référence, une analyse croisée synthèse-analyse n’a pas permis de tirer de conclusions définitives. En effet, certaines méthodes de synthèse ne sont qu’approximatives et peuvent interférer avec l’analyse. Dans la deuxième étude, seuls quelques estimateurs ont été éva- lués uniquement pour H > 0.5. Pour mener une étude générale, il faut au préalable disposer d’une méthode de synthèse générant de vrais signaux fBm. La synthèse par décomposition de Cholesky de la matrice de covariance des incréments du fBm est théoriquement exacte [13]. En effet, les statistiques d’ordre 2 des incréments de tels signaux sont celles des incréments gaus- siens du fBm. L’appréciation de la qualité d’un estimateur revient à comparer la valeur du paramètre H mesurée sur ces signaux à celle injectée lors de la synthèse. L’objectif du travail présenté dans cet article est d’étudier les méthodes d’estimation du paramètre H du fBm les plus utilisées en traitement du signal. Cette évaluation sera faite sur des don- nées synthétiques théoriquement exactes, c’est-à-dire qu’aucun doute ne subsiste quant à la valeur du paramètre H injectée lors de leur génération. Pour chaque méthode, la qualité des estima- teurs sera évaluée par la mesure de leur biais et de leur variance. La variance sera comparée à la borne de Cramer-Rao (BCR). Le plan de cet article est le suivant : la section 2 définit le cadre de cette étude. En premier lieu, elle est consacrée à un bref rap- pel des principales propriétés du fBm en insistant sur le cas des signaux discrets de longueur finie. Puis, la méthode de Cholesky est décrite et il est montré comment les divers estimateurs seront évalués. La section 3 décrit successivement les différents esti- mateurs retenus pour l’analyse de signaux fBm et présente les résultats obtenus. La section 4 étudie plus particulièrement le cas des signaux de grande longueur ou bruités. 2. cadre de l’étude Les propriétés du fBm et de ses incréments sont brièvement rap- pelées en insistant sur celles utilisées pour estimer le paramètre H de signaux discrets composés de N échantillons. Elles sont présentées en particulier avec plus de détails dans [2] en continu et dans [14] en échantillonné (dans la suite du texte, les paren- thèses seront utilisées en temps continu et les crochets en temps discret). Enfin, nous décrirons la méthode qui permet de synthé- tiser des traces fBm exactes et exposerons les critères qui per- mettront de qualifier un estimateur donné (biais et variance). 2.1. propriétés du fBm Le fBm de paramètre H(0 < H < 1), noté BH, a été défini par Mandelbrot et Van Ness [2] comme une extension du mouve- ment brownien (pour H = 0.5, BH est le mouvement brownien ordinaire B) : M é t h o d e s d ’ a n a l y s e d u m o u v e m e n t b r o w n i e n f r a c t i o n n a i r e Traitement du Signal 2001 – Volume 18 – n°5-6 420 asymptotical case [1]. But MLE has a high computer burden in case of signals having a lot of samples. The Whittle approximation in the frequency domain of the MLE allows to get ride of these limitations, this technique being asymptotically efficient. Finally, results show that MLE approach can be used to measure the H parameter on signals embedded in a white noise. Fractional Brownian motion, fBm, maximum likelihood estimator, Whittle method. BH(t) −BH(0) = 1 Γ(H + 1/2)  0 −∞  (t −s)H−1/2 −(s)H−1/2 dB(s) +  t 0 (t −s)H−1/2dB(s)  (1) D’un point de vue pratique, c’est un processus gaussien, continu, centré, et non stationnaire au deuxième ordre. Avec la condition initiale BH(0) = 0, sa fonction d’autocorrélation, notée r, le décrit entièrement : rBH(i, j) = E (BH(i) BH(j)) = a2VH 2  |i|2H + |j|2H −|i −j|2H (2) E(·) est l’opérateur espérance mathématique, a est une cons- tante qui permet de construire toute une classe de processus à un facteur d’échelle près et VH est une fonction de H telle que [15] : VH = Γ(1 −2H)cos(πH) πH (3) Une des propriétés notable du fBm est son auto-similarité statis- tique : BH(km) ≡kHBH(m) ; ∀k et m > 0 (4) ≡signifie égalité en distribution. En uploads/Industriel/ analysis-methods-for-fractional-brownian-motion-theory-and-comparative-results.pdf

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