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Exercices sur la loi normale Exercice 1 : Une entreprise de matériel pour l’ind

Exercices sur la loi normale Exercice 1 : Une entreprise de matériel pour l’industrie produit des modules constitués de deux types de pièces : P1 et P2. Une pièce P1 est considérée comme bonne si sa longueur, en centimètres, est comprise entre 293,5 et 306,5. On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce P1 choisie au hasard dans la production d’une journée, associe sa longueur. On suppose que L suit une loi normale de moyenne 300 et d’écart type 3. Déterminer, à 10-2 près, la probabilité qu’une pièce P1 soit bonne. Correction exercice 1 : L suit une loi normale N(300,3) donc la variable aléatoire T définie par : suit une loi normale centrée réduite N(0,1) il vient : ( par symétrie de la loi N(0 ; 1 ) ) su la table on lit : d'ou : La probabilité qu'une pièce P1 soit bonne est de 0,97. Exercice 2 On suppose que la glycémie est distribuée normalement dans la population, avec une moyenne de 1 g/l et un écart-type de 0,03 g/l. On mesure la glycémie chez un individu. Calculer la probabilité pour que sa glycémie soit : a) inférieure à 1,06 ; b) supérieure à 0,9985 ; c) comprise entre 0,94 et 1,08 Correction exercice 2 Probabilité de divers intervalles de valeurs de la glycémie. Notons X la glycémie mesurée sur un individu de la population. X suit une loi normale N (1,00 ; 0,032). La variable aléatoire centrée réduite correspondante U = suit une loi normale N (0 ; 1). a) P (X < 1,06) C'est la surface hachurée suivante : La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne : P (X < 1,06 ) = P U < = P (U < 2 ) = F ( 2 ) 0,9772 P (X < 1,06) = 0,9772 b) P ( X > 0,9985 ) C'est la surface hachurée suivante : La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne : P (X > 0,9985 ) = P U > = P ( U > – 0,05 ) = P (U < 0,05 ) P (X > 0,9985 ) = F ( 0,05 ) 0,5199 P (X > 0,9985) = 0,5199 . c) P (0,94 < X < 1,08 ) C'est la surface hachurée suivante : La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne : P (0,94 < X < 1,08 ) = P < U < = F – F ( – 2 ) = F – 1 + F ( 2 ) = 0,9962 + 0,9772 – 1 = 0,9734 P (0,94 < X < 1,08) = 0,9734 Exercice 3 Une machine automatique fabrique des tubes en série dont le diamètre X est réparti selon la loi normale de moyenne 20 cm et d'écart-type 1,5 mm. a) Calculez la probabilité qu'une pièce prise au hasard dans la fabrication ait un diamètre compris entre 19,75 cm et 20,25 cm. b) Quel intervalle de centre 20 cm peut-on garantir avec une probabilité 0,95 ? Correction exercice 3 1°/ Probabilité d'un intervalle. Désignons par F la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite. P (19,75 < X < 20,25) = F – F = F – F – La relation F (– u) = 1 – F (u) entraîne alors : P (19,75 < X < 20,25) = 2 F – 1 Or la table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite donne : F = 0,9522 On en déduit : P (19,75 < X < 20,25) = 2 × 0,9522 – 1 = 0,9044 P (19,75 < X < 20,25) = 0,9044 2°/ Intervalle de sécurité à 95 %. Un intervalle centré sur m = 20 cm est de la forme m ± u . Sa probabilité est : P (m – u < X < m + u ) = F (u) – F (– u) = 2 F (u) – 1. Pour avoir P (m – u < X < m + u ) = 0,95, il faut prendre u tel que : 2 F (u) – 1 = 0,95 F (u) = = 0,975 La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite fournit la valeur : u = 1,96 L'intervalle [m – u ; m + u ] correspondant est : [20,00 – 1,96 × 0,15 ; 20,00 + 1,96 × 0,15] = [20,00 – 0,29 ; 20,00 + 0,29]. L'intervalle de sécurité à 95 % est l'intervalle [19,71 ; 20,29] Ce résultat signifie que 95 % des tubes fabriqués ont un diamètre compris dans cet intervalle. Autrement dit, on est sûr à 95 % que le diamètre d'un tube pris au hasard dans la production, est dans cet intervalle. Exercice 4 . Calculer l'espérance mathématique et la variance d'une variable aléatoire normale X sachant que : P (X 2) = 0,5793 et P (X > 5) = 0,2119. Correction exercice 4 1°/ Traduction de la relation P (X 2) = 0,5793. Désignons par F la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite. P (X 2) = 0,5793 F = 0,5793 La table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite fournit : F (0,20) = 0,5793 F = F (0,20) : = 0,20 = 5 m + = 10 2°/ Traduction de la relation P (X > 5) = 0,2119. P (X > 5) = 0,2119 P (X 5) = 1 – P (X > 5) = 1 – 0,2119 = 0,7881 F = 0,7881 Or la table de la fonction de répartition de la variable normale centrée réduite fournit : F (0,80) = 0,7881 la relation F = F (0,80) équivaut à = 0,80 = 5 m + 4 = 25 3°/ Valeurs de m et . Le système de deux équations du premier degré :5 m + = 10 et 5 m + 4 = 25 a pour unique solution, calculée par soustraction, puis substitution : m = 1 et  = 5. Partie du sujet de BTS session 2005 Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la construction, leur diamètre est exprimé en millimètre. Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont à arrondi à 10- 2 . Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui ci appartient à l'intervalle [89,6 ; 90,4]. 1. On note X1, la variable aléatoire qui à chaque rondelle prélevée au hasard dans la production associe son diamètre. On suppose que la variable aléatoire X1 suit la loi normale de moyenne 90 et d'écart type = 0,17 Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme. 2. L'entreprise désire améliorer la qualité de la production des rondelles : il est envisagé de modifier le réglage des machines produisant les rondelles. On note D la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne 90 et d'écart type 1. Déterminer 1 pour que la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99. Correction : 1. La probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme est de 0,98 : 2. Calculons 1 pour que cette probabilité soit supérieure ou égale à 0,99 : si nous prenons 1 = 0,15 , donc on peut donc conserver cette valeur pour 1 ( en prenant 1 = 0,16 on obtient une probabilité plus petite que 0,995 ) Une partie du sujet Bts MAI session 2004 Une entreprise fabrique, en grande quantité, des tiges métalliques cylindriques pour l’industrie. Leur longueur et leur diamètre sont exprimés en millimètres. Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à 10-2. Une tige de ce type est considérée comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [99,45 ; 100,55]. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tige prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que X suit une loi normale de moyenne 100 et d’écart-type 0,25. 1. Calculer la probabilité qu’une tige prélevée au hasard dans la production soit conforme pour la longueur. 2. Déterminer le nombre réel h positif tel que : p (100 - h X 100 + h) = 0,95 Interpréter le résultat à l’aide d’une phrase. Correction : 1. X suit une loi normale de moyenne 100 et d’écart-type 0,25 donc la variable T défini par : suit une loi N (0, 1) Notons E l'évènement : E : " la tige est conforme " ( par symétrie de la loi normale centrée réduite N(0,1 ). sur la table de la loi normale centrée réduit on lit : (2,2) = 0,9861 p(E) = 2 0,9861 - 1 0,97. La probabilité qu'une tige tirée au hasard soit conforme est donc égale à 0,97. 2. uploads/Industriel/ 6exercices-sur-la-loi-normale-fr.pdf