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11E CONGRES INTERNATIONAL DE GENIE INDUSTRIEL −CIGI2015 QUÉBEC, CANADA 26-28 OC

11E CONGRES INTERNATIONAL DE GENIE INDUSTRIEL −CIGI2015 QUÉBEC, CANADA 26-28 OCTOBRE 2015 1 Calcul de la probabilité de ruine: Cas de la branche RC automobile de l’agence SAA 3201 de Bejaia. Lydia TLILANE, Hanane ALLAOUA, Zina BENOUARET and Djamil AISSANI Unité de recherche LaMOS, Université de Bejaia, Algérie Email: benouaret−z@yahoo.fr http://www.lamos.org Abstract—The objective of this work is to evaluate the ruin probabilities within ﬁnite and inﬁnite time of the RC automobile in the SAA 3201 agency of Bejaia. In order to identify the corresponding risk model and calculate these characteristics, we lean on the stochastic approach and the results of the ruin theory with an adjustment of the collected data. Furthermore, a simulation study is realized in order to estimate the ruin probability in ﬁnite time for this line of business. Keywords—Insurance, Risk models, ruin probabilities, Adjustment tests, Simulation. Résumé - L ’objectif de ce travail est d’évaluer la probabilité de ruine en temps ﬁni et inﬁni de la branche RC automobile de l’agence SAA 3201 de Bejaia indépendamment des autres branches. Aﬁn d’identiﬁer le modèle de risque correspondant et de calculer ces caractéristiques, nous nous appuyons sur l’approche stochastique et les résultats de la théorie de la ruine avec un ajustement des données collectées. De plus, nous réalisons une approche de simulation pour estimer la probabilité de ruine en temps ﬁni de cette branche d’activité. Mots clés - Assurance, Modèles de risque, Probabilité de ruine, tests d’ajustement, Simulation. ! 1 INTRODUCTION: L’opération d’assurance a pour effet le transfert total ou partiel des conséquences ﬁnancières du risque subi par l’assuré vers une société d’assurance. Les dépenses prises en charge par la société peuvent correspondre soit à des indemnités à verser à des tiers au titre de la responsabilité (civile, professionnelle, ou autre) de l’assuré, soit à la réparation des dommages subis par ce dernier. Mais qu’adviendrait-il de ces compagnies d’assurance lorsqu’elles courent elles-mêmes un risque? En assurance, on qualiﬁe de risque, la probabilité que la réserve d’une compagnie d’assurance, qui est la différence entre le total des primes reçues et le total des montants des réclamations payés, devienne négative à un certain temps. A ce moment là, on dit que la ruine apparaît, du fait d’un mauvais calcul du taux de cotisation des assurés ou de sinistres trop importants à couvrir. La théorie mathématique de l’assurance peut contribuer à promouvoir le développement de méthodes plus rationnelles dans la gestion des risques. Les responsables et décideurs dans les compagnies d’assurance seraient ainsi mieux à même d’intégrer dans leurs démarches le fait que le risque, bien quantiﬁé et apprécié, constitue aussi, sinon d’avantage, une opportunité d’innovation, une source de création de richesse, donc de progrès pour nos sociétés. L’un des outils les plus puissants pour comprendre l’évolution de la richesse d’une compagnie d’assurance est la modélisation stochastique. L’équilibre à long terme des résul- tats de la compagnie d’assurance correspond à la notion math- ématique de probabilité de ruine. Le concept de probabilité de ruine sera basé sur les modèles de risque qui relèvent de la théorie du risque. Nous serons amenés à considérer une compagnie d’assurance qui veut investir une certaine somme d’argent dans une branche d’assurance. Le modèle consiste à la représentation du niveau des réserves comme étant le résultat de la différence entre les recettes par primes chargées et les payements dus aux sinistres enregistrés en tenant compte d’un capital initial. Le modèle de risque, unidimensionnel, composé d’une seule branche d’assurance, est un modèle utilisé pour décrire ce mécanisme d’arrivée des sinistres et des montants des réclamations. Le modèle concerne l’assurance non-vie, c’est-à-dire, les assurances « dommages » ou « accidents » par opposition aux assurances vie qui présentent d’autres problèmes et relèvent d’une autre modélisation. L’objectif de ce travail est de modéliser l’évolution de la richesse d’une compagnie d’assurance et d’évaluer sa proba- bilité de ruine, c’est-à-dire, la probabilité que les dommages à payer aux assurés dépassent les cotisations. La société al- gérienne d’assurance SAA a pris conscience de l’ampleur de ce problème, c’est pourquoi, nous envisageons d’évaluer la probabilité de ruine de la branche RC (Responsabilité Civile) automobile de l’agence SAA 3201 de Bejaia en fonction du capital initial investi. A travers cette étude, nous tenterons d’apporter quelques éléments de réponses aux interrogations posées. Ainsi, notre méthodologie de travail fait appel à une recherche bibli- ographique sur le thème d’une part, une collecte de données auprès de l’agence SAA 3201 de Bejaia d’autre part et enﬁn, l’application des résultats de la théorie du risque et de la ruine à la branche RC automobile de l’agence SAA 3201 de Bejaia. 11E CONGRES INTERNATIONAL DE GENIE INDUSTRIEL −CIGI2015 QUÉBEC, CANADA 26-28 OCTOBRE 2015 2 2 MODÉLISATION DE LA RÉSERVE DE LA BRANCHE RC AUTOMOBILE DE L’AGENCE SAA 3201 DE BEJAIA: Le résultat d’une compagnie d’assurance à la ﬁn de chaque exercice dépend de la réalisation de nombreuses activités. Dans ce travail, nous allons considérer l’activité provenant du côté purement assurance. C’est ainsi que le modèle sera réduit à la représentation du niveau des réserves comme étant le résultat de la différence entre les recettes par primes chargées et les payements dûs aux sinistres enregistrés. Cette étape concerne alors la modélisation de la réserve et de ses paramètres, à savoir, la prime, le nombre et le montant des réclamations des sinistres. Le processus décrivant l’évolution d’un portefeuille d’assurance est déﬁni comme suit: la société d’assurance dispose d’un capital initial u pour démarrer son activité. Un volume de primes Π est perçu chaque année par la compagnie. En contrepartie de ces primes, la compagnie doit dédommager des sinistres qui surviennent aléatoirement au cours du temps à des instants σ1, σ2, .... Les montants de ces sinistres sont Z1, Z2, .... Le résultat X(t) de la branche d’activité à l’instant t est donné par X(t) = u + Π(t) −R(t) = u + Π(t) − N(t) X i=1 Zi qui représente la réserve de la branche considérée. Nous nous intéressons à la détermination du processus {X(t), t ≥0}. 2.1 Modèle de risque classique: Le modèle de risque de Cramér-Lundberg ou P/G, désigné aussi sous le nom du modèle de risque classique ou encore Poisson composé, a été introduit en 1903 par l’actuaire Suédois Filip Lundberg (cf. [11]) et est connu comme la base du fondement de la théorie du risque. La notation P/G, empruntée de la théorie des ﬁles d’attentes, fournit l’information au sujet des lois des arrivées et des montants des réclamations des sinistres. La lettre G signiﬁe général et P signiﬁe Poisson (cf. [9]). Il s’ensuit que la suite {σn}n∈N des arrivées des réclamations forme un processus de Poisson ce qui est équivalent à dire que les temps des inter-occurrences Tn = σn −σn−1, n ≥1 sont de distribution exponentielle. Ce modèle est construit selon les hypothèses suivantes: • Le processus de comptage {N(t), t ≥0} du nombre de réclamations est un processus de Poisson d’intensité λ. • La séquence {Zn}n∈N∗des montants des réclamations est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de moyenne ﬁnie µ. • La prime est proportionnelle au temps, c’est-à-dire, Π(t) = ct où c > 0 est le taux de prime constant choisi de telle sorte que la société ait de bonnes chances de survie. • Pour tout t > 0 et n ≥1, on suppose que la variable aléatoire N(t) et le vecteur aléatoire (Z1, ..., Zn) sont indépendants. Le processus de Poisson composé modélise la réserve {X(t), t ≥0} avec X(t) = u + ct −R(t), t ≥0, (1) où R(t) = N(t) P i=1 Zi est le montant cumulé des réclamations à l’instant t. Le processus de risque est donné par {S(t) = ct −R(t), t ≥0}. De plus, E[ct −R(t)] = ct −E[N(t)]µ = ct −λtµ = (c −λµ)t = θt, où θ est le chargement de sécurité. Cas particulier: Modèle de Lundberg ou P/P Un cas particulier du modèle de risque classique est le modèle de Lundberg appelé aussi modèle P/P. Ce modèle se caractérise par la distribution exponentielle des montants des réclama- tions, c’est-à-dire, FZ(y) = 1 −e −1 µ y, y ≥0, où FZ est la fonction de répartition de la variable aléatoire Z qui génère le montant des réclamations. 2.2 Collecte des données: Aﬁn de modéliser la réserve de la branche RC automobile de l’agence SAA 3201 de Bejaia et de calculer sa probabilité de ruine, une collecte de données s’est déroulée dans cette agence. Les données recueillies sont représentées sous forme de rapports mensuels (bordereaux). La période d’étude s’étale sur trois ans, du 01/01/2007 au 31/12/2009. Les informations qui nous intéressent dans ces données sont: 2.2.1 La réserve initiale Nous considérons la réserve initiale u ≥0 de la branche RC automobile du 31 décembre 2006. 2.2.2 Le nombre de réclamations (processus de comp- tage des réclamations) Lors d’une réclamation d’un assuré, l’indemnisation n’est pas immédiate. La durée d’attente de cette indemnisation est aléa- toire. Elle peut être de quelques jours, de quelques mois ou encore de plusieurs années. Dans certains cas, le sinistre peut ne uploads/Industriel/ pratique-prob-ruine.pdf