Loi Binomiale Première I Loi de Bernoulli et loi binomiale I.1 Loi de Bernoulli

Loi Binomiale Première I Loi de Bernoulli et loi binomiale I.1 Loi de Bernoulli Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : • l’une S : « succès » de probabilité p; • l’autre S : « échec » de probabilité (1 −p) . • La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli. • La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelé loi de Bernoulli de paramètre p. xi 0 1 p (X = xi) 1 −p p Remarque : cette loi porte le nom du mathématicien suisse Jacques Bernoulli (1654-1705). Définition 1 (Loi de Bernoulli) Si la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètres p alors son espérance est : E(X) = p Propriété 1 Preuve : E(X) = 0 × (1 −p) + 1 × p = p I.2 Schéma de Bernoulli et loi binomiale • L’expérience aléatoire qui consiste à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètre n et p. • La loi de probabilité de la variable X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves se nomme la loi binomiale de paramètres n et p. • La loi loi binomiale de paramètres n et p se note : B(n ; p) Définition 2 (Loi de Binomiale) Remarque : L’indépendance est assurée dans le cas de tirages successifs et avec remise, que l’on appelle tirages non exhaustifs. Première Loi Binomiale II Un exemple de loi Binomiale Exemple 1 : Point Bac La chaîne de production d’une usine fabrique 100 000 pièces par jour. La probabilité pour qu’une pièce soit jugée sans défaut est 0,9. On extrait de cette production un échantillon de taille 3. Le nombre de pièce de la production est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce tirage à un « tirage avec remise ». On appelle X la variable aléatoire comptant le nombre de pièces sans défaut dans cet échantillon. Montrer que X suit une loi binomiale, déterminer les paramètres et calculer P(X = 1). • Modélisation Il y a répétition de n = 3 événements indépendants et identiques (on tire une pièce). Chaque tirage a deux issues possibles (épreuve de Bernoulli) : – succès de probabilité p = 0, 9 quand une pièce est sans défaut; – et échec de probabilité 1 −p = 0,1 sinon. Donc la variable aléatoire X qui est égale au nombre de succès au cours de ces n = 3 épreuves indépendantes de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0, 9. X suit B  3 ; 0, 9  ou X ∼B  3 ; 0, 9  . Méthode 1 (Rédaction type) S p S p S p S 1 −p S 1 −p S p S 1 −p S 1 −p S p S p S 1 −p S 1 −p S p S 1 −p • Calcul. – La probabilité d’avoir un succès et un seul sur les trois tirages est P (X = 1) . – Les issues formées d’un succès sont :  S S S ; S S S ; S S S – On obtient alors : P (X = 1) = 3 × p × (1 −p)2 = 3 × 0, 9 × (0, 1)2 P (X = 1) = 0, 027 www.math93.com / M. Duffaud 2/4 Première Loi Binomiale III Coefficients binomiaux et loi binomiale III.1 Coefficients binomiaux Soit n un entier non nul et k un entier compris entre 0 et n. Le coefficient binomiale noté n k ! est : • le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre d’un schéma de Ber- noulli. • c’est aussi le nombre de combinaisons de k éléments parmi n. • c’est aussi le nombre de façons de choisir k éléments parmi n. Définition 3 Exemples : • n 0 ! = 1; n 1 ! = n; n n ! = 1, et par convention : 0 0 ! = 1. • On peut aussi utiliser le « triangle de Pascal » (des compléments sur www.math93.com) : III.2 Calcul des Coefficients binomiaux On peut utiliser la calculatrice : Casio Texas Numworks 1. Touche OPTN 1. Touche MATH 1. Touche Toolbox (paste) 2. puis ⊲ 2. choisir PRB 2. choisir Dénombrement 3. puis PROB 3. puis Combinaison 3. puis Binomial(n,k) 4. puis nCr n nCr k n Combinaison k Exemples : • 12 5 ! = 792; 20 8 ! = 125 970; 30 7 ! = 2 035 800. • 5 0 ! = 1; 5 1 ! = 5; 5 2 ! = 10; 5 3 ! = 10; 5 4 ! = 5; 5 5 ! = 1. www.math93.com / M. Duffaud 3/4 Première Loi Binomiale III.3 Formule générale de la loi binomiale Si la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors pour tout entier k compris entre 0 et n : P (X = k) = n k ! × pk × (1 −p)n−k De plus l’espérance mathématique de la loi binomiale de paramètres n et p est : E(X) = n × p Propriété 2 III.4 Calcul pratique de P (X = k) et P (X ≤k) On peut utiliser la calculatrice. Sur la Numworks c’est très simple grâce au menu Probabilité. Sinon : Casio Texas Excel Syntaxe 1. Touche OPTN 1. Menu distrib 2. choisir STAT 2. Touche 2nde var 3. puis DISTB 3. puis choisir binomFdp( Fonction LOI.BINOMIALE 4. puis Bdp ou Bcd ou binomFrép( P (X = k) BinomialPD(k, n, p) BinomFdp(n, p, k) =LOI.BINOMIALE(k;n;p;FAUX) P (X ≤k) BinomialCD(k, n, p) BinomFRép(n, p, k) =LOI.BINOMIALE(k;n;p;VRAI) Remarque : attention à l’ordre selon votre calculatrice, (k, n, p) sur Casio mais (n, p, k) sur Texas. Exemples • Avec X qui suit la loi B(n = 5 ; p = 0.3) on a : k 0 1 2 3 4 5 P (X = k) 0.16807 0.36015 0.3087 0.1323 0.02835 0.00243 P (X ≤k) 0.16807 0.52822 0.83692 0.96922 0.99757 1 • Avec X qui suit la loi B(n = 8 ; p = 0.2) on a : k 0 1 2 3 4 5 P (X = k) 0.16777216 0.33554432 0.29360128 0.14680064 0.0458752 0.00917504 P (X ≤k) 0.16777216 0.50331648 0.79691776 0.9437184 0.9895936 0.99876864 k 6 7 8 P (X = k) 0.00114688 0.00008192 0.00000256 P (X ≤k) 0.99991552 0.99999744 1 www.math93.com / M. Duffaud 4/4 uploads/Industriel/ cours-1es-loi-binomiale.pdf

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