Processus Stochastiques/ ENICAR Page 1 Ecole Nationale d’Ingénieurs de Carthage

Processus Stochastiques/ ENICAR Page 1 Ecole Nationale d’Ingénieurs de Carthage Département Informatique Niveau : Première Année Mastère de Recherche RMM Processus Stochastiques Préparé par : Iyed BEN SLIMEN Année universitaire : 2017/2018 Plan du cours : Chapitre 1 : Rappels sur la théorie des probabilités Chapitre 2 : Notions de base des processus stochastiques Chapitre 3 : Exemples de P.S : Gaussiens et de Poisson Chapitre 4 : Chaines de Markov Processus Stochastiques/ ENICAR Page 2 Chapitre 1 : Rappels sur la théorie des probabilités 1. Variables aléatoires  Dans l’étude des phénomènes physiques, il existe des situations qui peuvent être répétées un grand nombre de fois dans des conditions identiques et qui donnent, à chaque expérience, un résultat différent impossible à prévoir avec certitude. Ces phénomènes sont appelés aléatoires.  L’ensemble de tous les résultats possibles de cette expérience est appelé espace échantillon noté S. Un sous-ensemble de S est un évènement.  Une variable aléatoire (v.a) est une fonction X qui associe un nombre réel X(s) à chaque s ϵ S. On désigne SX l’ensemble des valeurs possibles de S. Exemple: lancement d’un pièce de monnaie  S = {P,F}  X peut être une fonction de valorisation directe de pile comme 1 et face comme 0  SX = {1,0} Exemple: lancement d’un dé à 6 faces  On peut avoir X telle que SX = {1,2,3,4,5,6} Exemple: prendre au hasard un nombre dans [0,1]. On peut prendre dans ce cas la v.a X qui est simplement le nombre obtenu (fonction identité); SX = [0,1] On peut définir une autre v.a Y sur le même espace:  Une variable aléatoire X est dite discrète si l’ensemble SX est dénombrable (fini ou infini). On note SX = {xi} où xi désigne l’élément numéro « i » de l’ensemble SX. On appelle loi de X la probabilité PX définie sur SX par la formule : Propriétés : Exemples :  Loi de Bernoulli B(p): SX = {0,1} :  Loi Binomiale B(n,p): SX = {0,1,...,n}  Loi équipartie (ou équiprobable): SX = {1,2,...,n}  Loi de Poisson Poi(λ): SX={0,1,...} = IN  La fonction de répartition d’une v.a X est définie par: Propriétés :      = on obtenu nombre le si Y sin 0 2 1 1 { } 1 , 0 = S Y X i i i X S x x X P x p ∈ ∀ = = ] [ ) ( 1 ) ( ) 2 1 ) ( 0 ) 1 = ≤ ≤ ∑ ∈ X i S x i X i X x p x p x x X p p x p − − = 1 ) 1 ( ) ( x n x X p p x n x p − −         = ) 1 ( ) ( n x pX 1 ) ( = 0 ! ) ( > = − λ λ λ avec x e x p x X IR x x X P x FX ∈ ∀ ≤ = ] [ ) ( ) ( ) ( ] [ ) 4 ) 3 1 ) ( lim 0 ) ( lim ) 2 1 ) ( 0 ) 1 a F b F b X a P croissante est F x F et x F x F X X X X x X x X − = ≤ = = ≤ ≤ +∞ → −∞ → Processus Stochastiques/ ENICAR Page 3 Question : Déterminer la fonction de répatition de la v.a X suivant la loi équipartie et tracer sa courbe représentative.  Une variable aléatoire X est dite continue si l’ensemble SX est infini non dénombrable et sa fonction de répartition est continue. On parle dans le cas continu d’une fonction de densité de probabilité (en tout point où la dérivée existe): Propriétés : Exemples :  Loi uniforme U[a,b]: SX = [a,b]  Loi exponentielle Exp(λ): SX = IR+  Loi gaussienne N(μ,σ2): SX = IR - Si μ=0 et σ = 1: loi gaussienne centrée réduite - Si Y=aX+b  Y suit N(aμ+b, (aσ)2). - En particulier Exercice : Soit la fonction suivante :  =  >  = 1 √2       1) Tracer la courbe d’une loi gaussienne centrée réduite. Que représente Q(x) sur cette courbe ? 2) En utilisant la courbe précédente, montrer les relations suivantes :  = 1 −−, 0 = 1 2 , −∞ = 1, +∞ = 0 3) Soit une variable gaussienne ~ , , montrer que  >  =  ! " # $ 4) En déduire la fonction de répartition de Z.  L’espérance mathématique d’une v.a X : ) ( ) ( x F dx d x f X X = ∫ ∫ ∫ = − = ≤ = = ≤ ≤ ∞ + ∞ − ∞ − b a X X X X x X X X dz z f a F b F b X a P dz z f dz z f x F x f ) ( ) ( ) ( ] [ ) 4 1 ) ( ) 3 ) ( ) ( ) 2 1 ) ( 0 ) 1 a b x f X − = 1 ) ( 0 ) ( > = − λ λ λ avec e x f x X 0 2 ) ( exp 2 1 ) ( 2 2 2 >       − − = σ σ µ πσ avec x x f X ) 1 , 0 ( N suit X Z σ µ − = continu cas dx x f x X E discret cas x p x X E X X S X S x i X i : ) ( . ) ( : ) ( ) ( ∫ ∑ = = ∈ Processus Stochastiques/ ENICAR Page 4 Si X est une v.a, alors toute transformation g(X), où g est une fonction à valeurs réelles définie sur IR , est une v.a. Son espérance mathématique est donnée par: Par exemple : Linéarité : L’espérance est linéaire alors E(aX+bY)=a E(X)+ b E(Y) avec a et b deux réels, X et Y deux v.a ayant des espérances respectives E(X) et E(Y).  Le ke moment de X par rapport à l’origine est E[Xk], pour k=0,1,2...  La variance est la quantité: VAR [X] = E[(X-E[X])2] On montre aussi que: VAR [X] = E(X2) – (E[X])2 L’écart type de X est la racine carré de la variance. Il a la même unité que X. On a: V[aX+b] = a2.V[X] avec a et b deux réels Exercice: Soit la loi équipartie de paramètre n 1) Déterminer son espérance mathématique sachant que la somme d’une suite arithmétique est % = &'  (')* × ,')-' (') + '-' (') 2 2) En développant la somme suivante de deux manières différentes :∑ /-0 −- −101  234 montrer que ∑ -  234 = 5454  3) En déduire la variance de cette loi Exercice: 1) Déterminer l’espérance et la variance mathématique d’une loi de Benoulli de paramètre p. 2) Expliquer la loi binomiale B(n,p) à l’aide de la loi de Bernoulli. En déduire son espérance et sa variance mathématiques. 3) Déterminer l’espérance et la variance mathématique d’une loi uniforme U[a,b] Exercice: Soit une loi de Poisson de paramètre λ 1) Sachant que ∑ +∞ = = 0 ! i i z i z e , chercher son espérance mathématique. 2) Montrer que ( ) ( ) ( ) ∑ ∑ ∑ ∞ + = ∞ + = ∞ + = − + = − 0 0 1 1 ! ! )! 1 ( i i i i i i i i i i i λ λ λ 3) En déduire la variance mathématique de cette loi. Exercice : Par intégration par parties, déterminer l’espérance et la variance mathématiques d’une loi exponentielle de paramètre λ continu cas dx x f x g X g E discret cas x p x g X g E X X i S X S x i X i : ) ( ). ( )) ( ( : ) ( ) ( )) ( ( ∫ ∑ = = ∈ continu cas dx x f x X E discret cas x p x X E X X i S X S x i X i : ) ( ) ( : ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 ∫ ∑ = = ∈ Processus Stochastiques/ ENICAR Page 5 Exercice : Soit X une v. a gaussienne, centrée et de variance σ2, Nous proposons de calculer les moments d’ordre k de cette variable. 1) Démontrer l’égalité 6 7 = 8 9 7   pour tout α > 0 2) En dérivant cette égalité r fois par rapport à la variable α, calculer 6 :7    3) En déduire le uploads/Industriel/ cours-processus-stochastiques-enicar.pdf

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