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Innover et renouveler régulièrement ses produits, est devenu une condition de s

Innover et renouveler régulièrement ses produits, est devenu une condition de survie sur le marché agro-alimentaire où lavenir dune entreprise ne dépend plus seulement de la qualité de ses produits, services, de ses hommes ou de son management,... Contexte : LES PLANS DE MELANGES AGB – 2A –Statistiques appliquées Florent ARNAL 10 Cours/TD + Evaluation (CR) avec R 1 1 Les facteurs doivent être indépendants. Ainsi, si on a identifié 4 facteurs, on peut choisir le niveau dun facteur quels que soient les niveaux associés aux autres facteurs. Ceci nest pas le cas dans le cadre des plans de mélanges. LES PLANS DE MELANGES Lien avec les plans d’expérience Les réponses sont étudiées en fonction des proportions des constituants. Ainsi, sil y a 4 constituants et que 3 proportions ont été fixées, la quatrième est forcément imposée (la somme étant égale à 100 %). 2 Exemple de processus de développement de produits Calcul du prix de revient technique Veille marketing et commerciale Étude du projet et proposition de réponses Recherche de matières premières Essais laboratoire : formulation Dégustation Anticipation industrialisation Si essais concluants Échantillonnage client Si proposition acceptées Essais industriels Industrialisation 2 3 Exemple de processus de développement de produits Calcul du prix de revient technique Veille marketing et commerciale Étude du projet et proposition de réponses Recherche de matières premières Essais laboratoire : formulation Dégustation Anticipation industrialisation Si essais concluants Échantillonnage client Si proposition acceptées Essais industriels Industrialisation 4 FORMULATION Conditionnement Réglementation Conditions de conservation Procédé de fabrication Coût Caractéristiques microbiologiques Caractéristiques nutritionnelles Caractéristiques organoleptiques La formulation recouvre l'ensemble des savoir-faire nécessaires au développement et à la fabrication d'un produit commercial répondant à un cahier des charges préétabli. Formulation 3 5 La formulation recouvre l'ensemble des savoir-faire nécessaires au développement et à la fabrication d'un produit commercial répondant à un cahier des charges préétabli. Formulation FORMULATION Conditionnement Réglementation Conditions de conservation Procédé de fabrication Coût Caractéristiques microbiologiques Caractéristiques nutritionnelles Caractéristiques organoleptiques Essais laboratoire 6 Essais laboratoire : deux approches 1. Ajouts successifs : réalisation dune série dessais jusquà obtention dun résultat à priori satisfaisant : méthode empirique 2. Plans de mélanges : outil mathématique de la formulation Réduction ou optimisation du nombre de mélanges (et donc d'analyses nécessaires). Mesures expérimentales uniquement sur les mélanges les plus informatifs. Modélisation mathématique des réponses en fonction des mélanges. Choix du mélange optimal en respectant les contraintes extérieures. 4 7 • Formuler clairement le problème étudié : les objectifs, le budget, le temps, les moyens matériels… Cest létude du projet qui a pour objectif de bien prendre connaissance de la demande du client, et de répondre en tenant compte de ses compétences. Démarche suivie en plan de mélanges 8 • Formuler clairement le problème étudié : les objectifs, le budget, le temps, les moyens matériels… • Recenser les informations existantes (bibliographie, rapports sur la création de produits similaires, réglementation…) et à partir de celles-ci définir les constituants 1. Sélectionner la ou les variables Y (Réponses qui permettent de qualifier le produit). 2. Sélectionner les variables Xi (composants les plus significatifs pour ces réponses). 3. Sélectionner les niveaux pour chaque Xi . Démarche suivie en plan de mélange 5 9 • Formuler clairement le problème étudié : les objectifs, le budget, le temps, les moyens matériels… • Recenser les informations existantes (bibliographie, rapports sur la création de produits similaires, réglementation…) et à partir de celles-ci définir les constituants. • Etablir une stratégie expérimentale ou un plan d'expérimentation éventuellement faire l'hypothèse d'un modèle mathématique qui semble adapté Comment les Xi affectent Y ? Existe-t-il une relation du type Y=f(X1 ,X2 ,…, Xn) ? Quelles sont les interactions entre les Xi qui affectent Y ? Démarche suivie en plan de mélange 10 • Formuler clairement le problème étudié : les objectifs, le budget, le temps, les moyens matériels… • Recenser les informations existantes (bibliographie, rapports sur la création de produits similaires, réglementation…) et à partir de celles-ci définir les constituants,. • Etablir une stratégie expérimentale ou un plan d'expérimentation • Effectuer les expériences qui donneront les valeurs des réponses étudiées. 1. Etablir la matrice du plan. 2. Faire les essais et collecter les données. Démarche suivie en plan de mélange 6 11 • Formuler clairement le problème étudié : les objectifs, le budget, le temps, les moyens matériels… • Recenser les informations existantes (bibliographie, rapports sur la création de produits similaires, réglementation…) et à partir de celles-ci définir les constituants,. • Etablir une stratégie expérimentale ou un plan d'expérimentation • Effectuer les expériences qui nous donneront les valeurs des réponses étudiées. • En déduire les réponses aux questions posées. 1. Faire un graphe des valeurs des essais. 2. Examiner les effets des facteurs. 3. Déterminer les niveaux optimaux des facteurs. Démarche suivie en plan de mélange 12 Dans les plans de mélanges, on étudie chacune des réponses en fonction des proportions des constituants. La somme de ces proportions est toujours égale à 100 %. Ainsi, le pourcentage du dernier constituant est imposé par la somme des pourcentages des premiers constituants. Les caractéristiques des mélanges Contrainte fondamentale des mélanges n X i=1 Xi = 1 7 13 Représentation géométrique des mélanges 1. Mélange à deux constituants Soient XA la teneur du constituant A et XB celle du second B. On sait que XA + XB = 1 Les compositions XA et XB variant entre 0 et 1, toutes les compositions possibles des mélanges des deux produits A et B sont représentées par les points de [AB] (contenu dans la droite déquation XB = - XA+1). 14 Représentation géométrique des mélanges 2. Mélange à trois constituants Soit XA, XB, XC les teneurs respectives des constituants A, B et C. On sait que XA+ XB+ XC=1. Toutes les compositions possibles des mélanges des trois produits A, B et C sont représentées par les points d’un triangle équilatéral (contenus sur un plan passant par les trois points dabscisse 1 sur chacun des axes des coordonnées). 8 15 Représentation géométrique des mélanges Un point surface intérieur du triangle représente un mélange ternaire. Les teneurs XA, XB, XC se lisent sur les cotés du triangle (A : coté [AB], B : coté [BC], C : coté [AC]). 2. Mélange à trois constituants Soit XA, XB, XC les teneurs respectives en constituant A, B et C. On sait que XA+ XB+ XC=1 16 Représentation géométrique des mélanges Les quatre produits sont aux sommets dun tétraèdre régulier. Les mélanges binaires sont représentés sur les cotés du tétraèdre, les mélanges ternaires sur les faces qui sont des triangles équilatéraux et les quaternaires par les points du volume intérieur du tétraèdre. 3. Mélange à quatre constituants Soit XA, XB, XC, XD les teneurs respectives en constituant A, B, C et D. On sait que XA+XB+XC+XD = 1 9 17 Représentation géométrique des mélanges 4. Mélange à cinq constituants La représentation géométrique nest plus possible car il faudrait Dessiner un volume régulier à quatre dimensions. Autre représentation pour illustrer tous les mélanges quel que soit le nombre de constituants : les tableaux … N° du mélange Produit A …. Produit D 1 xA,1 xD,1 2 xA,2 xD,2 3 xA,3 xD,3 Ex : 18 Différents types de plans de mélanges 3. Mélanges avec contraintes supérieures et inférieures 0 < ai Xi bi < 1 4. Mélanges avec contraintes relationnelles 2. Mélanges avec contraintes supérieures ou inférieures 0 Xi bi < 1 ou 0 < ai Xi 1 1. Mélanges sans contraintes 0 Xi 1 10 19 LES MELANGES SANS CONTRAINTES Introduction Les principaux plans de mélange sont liés à la façon de placer les points représentatifs des mélanges. On peut citer : • les plans en réseaux {q,m} où q représente le nombre de composants et 1/m correspond au pas. Le nombre total de mélanges différents est • les plans centrés comprenant les mélanges suivants : Produits purs, mélanges moitié-moitié, mélanges tiers-tiers-tiers, … Le nombre total de mélanges différents est !q+m−1 m " 2q −1 20 LES MELANGES SANS CONTRAINTES Objectif : Obtenir la meilleure approximation possible du mélange optimal en effectuant un minimum dessais. Comment choisir un modèle mathématique ? 11 21 LES MELANGES SANS CONTRAINTES Modèle mathématique La modélisation mathématique permet dexprimer la surface de réponse dans le domaine détude. Choix a priori dun modèle mathématique 1. Calcul des coefficients du modèle à laide de résultats dexpériences 2. Évaluation de la qualité de prévision du modèle grâce à des paramètres et tests statistiques (R2 ajusté, Test de Fisher) Solution éventuelle : Validation du modèle en réalisant des essais avec de nouvelles compositions de mélanges Validation du modèle 22 LES MELANGES SANS CONTRAINTES Modèle mathématique le plus simple. On suppose que les variations de la réponse sont proportionnelles aux teneurs des constituants du mélange. Léquation polynomiale du premier degré est : Modèle mathématique du premier degré En utilisant la contrainte fondamentale des mélanges, on a Cas de 3 constituants : Léquation polynomiale du premier degré est : Y = a0 + a1X1 + a2X2 + a3X3 o` u X1, uploads/Industriel/ cours-3.pdf