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Rappels et Compléments de Mathématiques SMA-SMI Pr. S. DEKKAKI Chapitre1 : Rapp

Rappels et Compléments de Mathématiques SMA-SMI Pr. S. DEKKAKI Chapitre1 : Rappels et Compléments de MathématiquesRappels et Compléments de Mathématiques I - Notion fondamental du calcul vectoriel I.1. Modéliser Représenter Pour décrire un phénomène ou un système physique, le physicien doit: • Déterminer les paramètres, les grandeurs, caractérisant au mieux l'état ou l'évolution du système. • Préciser la nature des grandeurs considérées. Il peut s'agir de : - Grandeurs locales c'est-à-dire définies par leur valeur en chaque point. - Grandeurs globales, caractérisant un domaine ou la totalité du système (par exemple son énergie). Ces grandeurs peuvent être : - Des scalaires ou nombres (densité de masse ou de charge, température ...) qui sont parfaitement définies par leur mesure avec une unité donnée. - Des vecteurs (on pourra définir un champ de gravitation, un champ électrique, un gradient de pression), qui nécessitent en plus de leur mesure la connaissance de leur sens leur direction. - Des matrices, des tenseurs, des opérateurs,...etc.... • Modéliser les relations entre ces grandeurs pour alléger le nombre des mesures à faire, prévoir des variations ou faciliter les calculs, décrire la physique du phénomène considéré. Cela passe par la construction d'un espace mathématique de représentation. •Décrire en particulier les propriétés spatiales, la géométrie du système considéré. Rappels et Compléments de Mathématiques SMA-SMI Pr. S. DEKKAKI I.2. Espace utilisé : En mécanique du point matériel on utilisera deux espaces : * L’espace affine (formé de points) Euclidien (on peut définir la distance entre deux points) De dimension 3, noté E. * L’espace vectoriel à 3 dimensions sur le corps des réels R associé à E, noté E. I.3. Vecteur : A tout couple de points (A, B)  E on associé un élément  AB u  E définissant un vecteur. Le vecteur u  est complètement définit par : - Son point origine A., son extrémité B - Sa direction : support portant le segment   AB - Son intensité (norme, module) : distance entre A et B - Son sens de A vers B B A U I.4. Base d’un espace vectoriel : Soit ) e , e , e B( 3 2 1    une famille de trois vecteurs libres non nuls de E, B est une base de l’espace vectoriel E si :   3 2 1 3 e c e b e a u tq c b, a, ξ u              a, b, c sont les composantes de u  sur la base B ; la base est orthonormé si les i e  sont normés et deux à deux orthogonaux. La norme de u  est : 2 2 2 c b a u     . Généralement on notera cette base   k , j , i B     Rappels et Compléments de Mathématiques SMA-SMI Pr. S. DEKKAKI I.5. Repère orthonormé L’ensemble formé par un point O et une base constitue un repère de E noté les demi-droites Ox, Oy, Oz, sont les axes du repère. La distance entre 2 points A et B dans R est : Z B k b j b i b OB k a j a i a OA       3 2 1 3 2 1       O A              3 1 2 3 1 i i i i i ai bi AB e a b AB  Y x I.6. Opération sur les vecteurs 1- Addition, soustraction, multiplication * La somme de deux vecteurs v u noté v et u    est un vecteur w  obtenu par ‘ la règle du parallélogramme ‘ v u   = u u v v Règle : on prend un vecteur équipollent à u (vecteur de support // à u  ,de même module et de même sens) qu’on ramène à l’extrémité de v  , est le vecteur joignant l’origine de v  à l’extrémité deu  * La loi de soustraction est définit de la même façon : u v v ) u ( w           v u v - u w - u   k j i B    , ,   k j i O    ; ; ,  w v u   Rappels et Compléments de Mathématiques SMA-SMI Pr. S. DEKKAKI *La multiplication par un scalaire est distributive :   v λ u λ v u λ        * Produit externe C'est la multiplication d'un vecteur par un scalaire réel, le résultat est un vecteur colinéaire au vecteur initial. Si  est positif le sens du vecteur est inchangé ; et il change s’il est négatif. Si  est plus grand que 1, le module du vecteur est augmenté (le vecteur s'allonge) et inversement si  est plus petit que 1. 2- Produit scalaire : a- Définition Soit 2 1 u , u   deus vecteurs non nuls et ) u ; u ( angle l' α 2 1    , le produit scalaire des deux vecteurs 2 1,u u   est défini par : 2 1 2 1 u . u u . u    .  cos 2 u   1 u  Par définition, le produit scalaire est un nombre p : .cosα u . u p 2 1    = ) u ( / .proj u ) u ( / proj . u 1 u 2 2 u 1 2 1        En effet : Rappels et Compléments de Mathématiques SMA-SMI Pr. S. DEKKAKI 2 1 2 1 2 1 0 0 0 . v à laire perpendicu v ou v ou v v v             1 u 1 u  cos 2 u La projection d’un vecteur v  sur un axe de vecteur unitaire u  est : b- Propriétés : - Commutativité u . v v . u      - Distributivité/ addition ) u u .( v 2 1     = 2 1 u . v u . v      - Associativité pour le produit externe 2 1 2 1 u ). u (λ ) u . u λ.(      - - si 2 1 2 1 2 1 2 1 v cos(0) v v v . v v v            Donc on retrouve les résultas pour un repère orthonormé 1    k j i    0 . . .           i k k j j i c- Représentation analytique : Soit le repère orthonormé :  1 v  E k z j y i x v 1 1 1 1        u v v oj    . ) ( / Pr     k j i O    ; ; ,  Rappels et Compléments de Mathématiques SMA-SMI Pr. S. DEKKAKI  2 v  E k z j y i x v 2 2 2 2        Les  repère le dans v et v vecteures des s composante les sont z y , x 2 1 k j, i   Le produit scalaire : ) k z j y i ).(x k z j y i (x v . v 2 2 2 1 1 1 2 1              = ) k . k ( .z z ) j . j ( .y y ) i . i ( .x x 2 1 2 1 2 1         Comme le repère est orthonormé on a : 2 1 2 1 2 1 2 1 z z y y x x v . v      en particulier si 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 v z y x v . v v v           Le module du vecteur 1 2 1 2 1 2 1 1 z y x v : v      3- Produit vectoriel : a- définition Le produit vectoriel de deux vecteurs U  et V  , est un vecteur V U noté W     de : * Direction : est perpendiculaires au plan des deux vecteurs U  et uploads/Industriel/ cours-de-mecanique-chapitre-1-2020-2021.pdf