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Travaux Dirigés Variables Aléatoires Discrètes 1.1 Modèle du dentiste On consid

Travaux Dirigés Variables Aléatoires Discrètes 1.1 Modèle du dentiste On considère une file d’attente à un serveur. On suppose que le débit moyen est , le temps moyen de réponse est E[R], le temps moyen d’attente est E[W], le temps moyen de service est [E]S, l’espérance de longueur de la file d’attente est E[L], le nombre moyen de clients en train d’attendre est E[LW], le nombre moyen de clients en train d’être servis est E[LS] et la probabilité pour que le serveur soit occupée est U. 1- Ecrire une relation entre E[R], E[S] et E[W] (relation 1). 2- Ecrire une relation entre E[L], E[LW] et E[LS] (relation 2). 3- Exprimer E[LS] en fonction de U. 4- Montrer que l’on passe de la relation 1 à la relation 2 en faisant une opération simple et montrer qu’on trouve ainsi une relation connue entre U, et E[S]. 5- On considère un dentiste. Le nombre moyen de patients présents chez lui est 2.8, le nombre moyen de patients dans la salle d’attente est 2, le nombre moyen de clients arrivant en une heure est 4. Déduire les autres critères de performances et caractéristiques du traitement. 1.2 Temps d’attente d’un train On considère une voie ferrée sur laquelle les passages des trains sont séparés par des durées (durée entre deux trains successifs) de deux types possibles : – 90% de ces durées sont constantes et égales à 6 mn. – 10% de ces durées sont constantes et égales à 54mn. 1- Calculer la durée moyenne séparant deux trains successifs 2- Un individu arrive à un instant quelconque. Au bout de combien de temps en moyenne pourra- t-il prendre un train ? On fera le calcul de deux façons différentes : a- En calculant la probabilité pour que l’individu arrive pendant un intervalle court entre deux trains. On en déduira le temps d’attente résiduelle. b- En appliquant la formule de Pollaczek Khintchine. 3- Comparer les résultats de 1 et 2. Ces résultats semblent-ils paradoxaux ? Chaînes de Markov à temps Discret 2.1 Etude d’une Chaine de Markov à Temps Discret Soit une chaine de Markov à trois états : 1, 2 et 3. Les probabilités de transition de l’état 1 vers les états 2 et 3 sont respectivement 1 !"p et p. La probabilité de transition de l’état 2 vers l’état 1 est 1. Les probabilités de transition de l’état 3 vers les états 2 et 3 sont respectivement α et 1 !"α". 1- Pour quelles valeurs du couple (α, p) cette chaîne est-elle irréductible et apériodique ? 2- Pour (α, p) vérifiant ces conditions, déterminer les probabilités d’état à l’équilibre. 3- En régime permanent, pour quelles valeurs de (α, p) les trois états sont-ils équiprobables ? 4- Calculer le temps moyen de premier retour en 2. 2.2 Processus de naissance et de mort Soit une chaîne de Markov infinie dont les états sont numérotés `a partir de 0. La probabilité de transition de l’état n à n + 1 est p. La probabilité de transition de l’´état n à n !"1 est q. Démontrer qu’il faut avoir p < q pour que les états soient récurrents non nuls. On utilisera un théorème vu en cours et on effectuera des coupes pour trouver rapidement la solution. 2.3 Modèles de trafic sur un lien On considère un lien transportant des cellules de longueur constante. Compte tenu du synchro- nisme global, on modélise le trafic sous forme d’une chaîne de Markov à temps discret. 1- Trafic de Bernoulli On suppose que les cellules sont indépendantes les unes des autres et qu’`a chaque unité de temps on a une probabilité p qu’il y ait une cellule et 1 !"p qu’il n’y en ait pas. Si l’on note Z(t) la variable aléatoire qui vaut 1 s’il y a une cellule `a l’instant t et 0 sinon, on a P[Z(t) = 1] = p et P[Z(t) = 0] = 1 !"p pour toutes les valeurs de t. a- Modéliser ce processus sous forme d’une chaîne de Markov à deux états. b- Calculer les probabilités des états, le débit de cellules et les deux premiers moments du temps séparant deux cellules successives. 2- Trafic Bursty Geometric On suppose que le trafic comporte des silences et des rafales. Pendant les silences il n’y a pas de cellule sur le lien ; pendant les rafales, il y a une cellule à chaque unité de temps. On note X(t) la variable aléatoire qui vaut 1 si l’on est dans une rafale `a l’instant t et 0 dans un silence. On suppose que P[X(t + 1) = 1/X(t) = 1] = p et P[X(t + 1) = 0/X(t) = 0] = q. a- Montrer que l’on peut représenter le processus (X(t)) par une chaîne de Markov. b- Déterminer le débit, les longueurs moyennes des silences et des rafales d’un processus IBP. Chaînes de Markov à temps Continu 3.1 Processus de Poisson Application des processus de naissance et de mort : cas d’un processus de naissance pure. C’est un processus pour lequel la probabilité conditionnelle de naissance entre t et t + dt vaut λdt. Soit K la variable aléatoire correspondant au nombre de naissances entre 0 et t : P[K(t + dt) = k + 1/K(t) = k] = λdt 1- Ecrire les équations différentielles permettant d’étudier la famille de fonctions (Pk), ou : Pk(t) = P[K(t) = k] 2- Démontrer que l’on obtient Pk(t) =exp(-λt)( λt)k/k ! 3- Calculer E[K(t)] et E[K(t)(K(t) !"1)]. En déduire Var[K(t)]. 4- Calculer la fonction de répartition du temps séparant deux arrivées. En déduire sa densité de probabilité. Donner son espérance mathématique. uploads/Industriel/ travaux-diriges.pdf