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[ PRATIQUES ] 1 [idees 143 /3.2006 Annexes sur le travail interdisciplinaire ma

[ PRATIQUES ] 1 [idees 143 /3.2006 Annexes sur le travail interdisciplinaire maths/SES Ces deux annexes sont proposées en complément de l’article « Une expérience de travail interdisciplinaire maths/SES », paru dans la revue idees n° 143 de mars 2006 et rédigé par deux des membres de l’équipe inter- disciplinaire maths/SES regroupant des enseignants des trois lycées d’Aurillac. Emmanuelle Boyer, professeure de mathématiques, et Claude Simon-Couineau1, professeure de SES, au lycée Jean-Monnet d’Aurillac (15). 1. Rappel des formules des fonctions coût total et coût moyen. 2. Définition du coût marginal: le coût marginal de la qe unité produite est la différence entre le coût total de production de q unités et (q – 1) unités. C’est donc le coût de production de la qe unité. Formule 1: Cm(qe unité) = CT(q) - CT(q - 1) (coût marginal de la qe unité) ou Cm(q + 1e unité) = CT(q +1 ) - CT(q ) Le coût marginal de la qe unité produite est donc le coût de production de la dernière unité ou celui de l’unité supplémentaire, selon que l’on considère une production respectivement de q unités ou q -1 unités. Exercice (Manuel de 1re ES, édition Nathan, 2001, p 215) Une entreprise, qui fabrique des voitures de haut de gamme vendues 100 000 €, voit son coût total varier de la façon suivante en fonction de son volume de production: Pour les différentes quantités produites, calculez le coût moyen et le coût marginal (complétez le tableau suivant): PRATIQUES [Nouvelle fiche de TD sur le coût marginal La notion de coût marginal est mise au point dans la nouvelle fiche de TD commune aux deux cours (activité maths/économie en première ES). Quantités produites 0 1 2 3 4 5 6 Coût total (en milliers d’euros) 80 140 170 175 185 205 235 Quantités produites Coût total Coût moyen Coût marginal (q) (en milliers d’euros) (en milliers d’euros) de la qe unité (en milliers d’euros) 0 1 2 ●●● [ PRATIQUES ] 2 [idees 143 /3.2006 Exprimez à l’aide d’une phrase la valeur dans la dernière case du tableau (en bas à droite). 3. Approximation avec la dérivée lorsque la production est grande. En modélisant le coût total par une fonction mathématique, on peut approcher le coût marginal par la dérivée du coût total. Formule 2: Cm(qe unité) = CT’(q – 1) ou Cm ( (q + 1)e unité) = CT’(q ) Remarque: on peut rencontrer, dans certains énoncés, la formule suivante: Cm(qe unité) = CT’(q) (lorsque la production est grande, il n’y a pas vraiment de différence!). Il faut donc bien lire l’énoncé et tenir compte des conventions ou notations données. Exercice 1 (Manuel Hyperbole Math, Nathan, exercice 37, page 185) Une entreprise produit une quantité q de lessive, exprimée en tonnes. Le coût de production est estimé, en euros à C(q) = 1 2 q3 - 20q2 + 300q + 1 200. Calculez le coût marginal correspondant à la production de la 21e tonne, puis de la 26e et de la 101e (utilisez les deux formules). Exercice 2 (Manuel Hyperbole Maths, Nathan, exercice 103, page 193, avec quelques modifications) Une entreprise fabrique des pizzas comptées par lots de 40 pizzas. On suppose qu’elle vend toute sa production. Les coûts de production sont, d’une part, les coûts fixes (amortissement du four, assurances, etc.) et, d’autre part, les coûts variables (ingrédients, salaires, etc.) qui dépendent du nombre q de lots fabriqués. On estime que la fonction coût de cette entreprise est donnée par la fonction suivante: C(q) = 1 2 q3 - 2q2 + 5q + 20, où q est le nombre de lots fabriqués et C(q) est exprimé en dizaines d’euros. 1) Complétez le tableau suivant (les valeurs des coûts seront données en dizaines d’euros): 2) Représentez graphiquement, dans le même repère, les fonctions C et C’ (unités: 2 cm pour 1 lot sur [Ox] et 1 cm pour cinq dizaines d’euros sur [Oy]). 3) Le prix de vente unitaire est fixé à 7,5 euros la pizza. – Calculez le prix de vente d’un lot de pizzas. – Quelle est la recette R(q) (en dizaines d’euros) pour q lots vendus? – Tracez la droite d’équation y = 30 sur le graphique précédent. – «Tant que le coût marginal est inférieur au prix de vente, l’entreprise a intérêt à produire», expliquer pourquoi. Quelles sont les quantités que l’entreprise a intérêt à produire? – Exprimez le bénéfice produit par la vente de q lots de pizzas. – Calculez ce bénéfice pour q variant de 1 à 8 et en déduire la production qui assure un bénéfice maximum. q 1 2 3 4 5 6 7 8 Coût marginal (définition) Coût marginal (dérivée) C’ 3 4 5 6 ●●● [Devoir maison maths-SES EXERCICE 1 Partie mathématique À l’aide du graphique ci-dessous, répondez aux questions suivantes : 1. Quel est le taux de croissance du Pib annuel en 1994 ? Comparez avec celui de 2004. Expliquez pourquoi le taux de croissance du Pib annuel entre 1994 et 2004 n’est pas obtenu par la formule VA – VD = 4,2 – 4,0 . VD 4,0 2. Par lecture graphique, complétez le tableau suivant (on donnera les valeurs à 0,1 près). 3. Déduisez du tableau le taux de croissance entre 1994 et 2004 du Pib annuel de chacun des cas étudiés (États-Unis, zone euro et Japon). 4. Déterminez le taux de croissance annuel moyen (TCAM) du Pib annuel de chacun des cas étudiés entre 1994 et 2004. [ PRATIQUES ] 3 [idees 143 /3.2006 Année 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 Taux de croissance du Pib annuel 4,0 2,7 des États-Unis Coefficient multiplicateur correspondant Taux de croissance du Pib annuel de la zone euro Coefficient multiplicateur correspondant Taux de croissance du Pib annuel du Japon Coefficient multiplicateur correspondant CROISSANCE DU PIB ANNUEL, EN VOLUME ET EN POURCENTAGE 5 4 3 2 1 0 – 1 – 2 4,0 4,4 3,8 4,2 1,8 – 1,1 3,5 1,0 2,3 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004* ● ● ● ● ● États-Unis Zone euro Japon *Prévisions Source: OCDE ÉVOLUTION DU PIB PAR HABITANT DANS QUELQUES PAYS Partie économique 1. Quel est l’intérêt du calcul de ces trois TCAM ? 2. Quelle est l’information supplémentaire qu’apporte le graphique par rapport à la donnée du TCAM ? 3. Quelles informations sur le taux de croissance du PIB peut-on dégager de ce graphique ? EXERCICE 2 1. Quel est l’intérêt d’adopter une échelle logarithmique dans une représentation graphique ? 2. Quel pays a connu la plus forte croissance au XXe siècle ? 3. Comparez l’évolution des trois courbes en distinguant des périodes. ÉVOLUTION DU PIB SUR UNE LONGUE PÉRIODE [ PRATIQUES ] 4 [idees 143 /3.2006 10000000 1000000 100000 10000 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 États-Unis France Japon Pib en millions de dollars 1990 (échelle logarithmique) Source: Maddison Angus, L’Économie mondiale 1920-1992, OCDE, 1995, et GGDC, 2000, repris dans Fitoussi Jean-Paul, Fondements de la politique économique et mondialisation, site internet de Sciences Po, 2001. 100000 10000 1000 100 1500 1600 1700 1800 1900 2000 France Allemagne Royaume-Uni Portugal ex-URSS États-Unis Japon Mexique Chine Inde Source: D’après données de Maddison Angus, L’Économie mondiale: une perspective millénaire, OCDS, 2001. N.B. La correction du Pib en parités du pouvoir d’achat (PPA) permet de comparer des données expri- mées dans la même monnaie (dollars en général) en tenant compte des différences de niveaux de prix de biens et services dans les pays comparés. Un dollar exprimé en PPA permet de se procurer la même quantité de biens et services dans tous les pays. 1. Quel est l’intérêt d’adopter une échelle logarithmique dans une représentation graphique ? 2. L’évolution du Pib des États-Unis de 1870 à 2000 vous paraît-elle être une croissance à taux constant? L’évolution du Pib par habitant aux États-Unis vous paraît-elle être une croissance à taux constant ? Justifiez les deux réponses. 3. Présentez les points communs et les différences entre les deux documents. 4. Quel est le Pib des États-Unis en 1900 ? Quel est le revenu par tête des États-Unis à la même date ? 5. Comparez l’évolution du Pib de la France et du Japon au XXe siècle en distinguant des périodes. Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ? 6. Comparez l’évolution du Pib/habitant des États-Unis et du Royaume-Uni entre 1500 et 2000 en distinguant des périodes. Quelle conclusion pouvez-vous en tirer ? 7. Dans quel pays le Pib/habitant a-t-il le plus augmenté entre 1950 et 2000 ? Justifiez votre réponse avec un calcul d’évolution (pour chaque pays, on déterminera à l’aide d’une lecture graphique des données la variation absolue et la variation relative). Comment peut-on expliquer ce résultat ? 8. Dans quel document est-il question du niveau de vie ? Justifiez votre réponse. Peut-on parler de convergence internationale des niveaux de vie au vu de ce graphique ? Justifiez. ] [ PRATIQUES ] 5 [idees 143 /3.2006 uploads/Industriel/ ocde-croissance.pdf