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SOMMAIRE Publication de l'l. R. E. M. de Strasbourg LE LIVRE du PROBLEME fascic

SOMMAIRE Publication de l'l. R. E. M. de Strasbourg LE LIVRE du PROBLEME fascicule 1 pédagogie de l'exercice et du problème CEDIC 1973 LYON - PARIS 12, rue du Moulin de la Pointe - 75013 Paris SOMMAIRE © CEDIC 1972 Droits de traduction et de reproduction réservés pour tous pays. Toute reproduction, wi nu• partielle, de cet ouvrage est interdite. Une copie ou reproduction par quelque procédé que ce soit, photo graphie, microfilm, bande magnétique, disque ou macre, constitue une contrefaçon passible des peines prévues par la loi du 11 mars 1957 sur la protection des droits d'auteur SOMMAIRE pédagogie de l'exercice et du problème SOMMAIRE SOMMAIRE SOMMAIRE Introduction 7 Chapitre 1 Exercices d'exposition 13 Chapitre 2 Les problèmes 19 Chapitre 3 Les exercices didactiques 29 Chapitre 4 Exécution des tâches techniques 37 Chapitre 5 Les manipulations 45 Chapitre 6 Applications des mathématiques 61 Chapitre 7 Les tests 81 Bibliographie 97 SOMMAIRE SOMMAIRE INTRODUCTION La réforme de l'enseignement des mathématiques se poursuit dans le monde entier dans des conditions difficiles : ayant à assumer la scolarisation d'un nombre toujours croissant d'élèves, elle doit poursuivre une délicate politique de formation de maîtres qualifiés. Mais ce n'est pas son moindre avantage que d'avoir suscité, ici et là, des réflexions sur les buts et les méthodes de cet enseignement. Elle a permis la découverte -on plutôt la redécouverte- de vérités tellement "évidentes" que nul ne songe à les mettre en doute... ni à les appliquer. Tout le monde s'accorde pour affirmer que "faire des mathématiques" ce n'est pas emmagasiner des connaissances, et que l'exercice de l'intelli- gence, de l'imagination, de la rigueur, de la minutie, de l'honnêteté intel- lectuelle ne se développent pas en écoutant un cours dicté, recopié, appris, récité. Et pourtant l'essentiel de la préparation des futurs professeurs consiste toujours à apprendre à bâtir des exposés "magistraux" bien char- pentés, ce qui est certes utile, mais ne prépare qu'à une faible partie du métier d'enseignant. SOMMAIRE 8 La suite de cette introduction aborde précisément l'autre aspect de ce métier. Elle ébauche une réflexion sur la pédagogie de l'exercice et du problème qui étudie l'art de susciter une attitude active et critique de l'élève. Précisons tout de suite que, les fascicules présentés ici ne veulent pas être de simples recueils d'exercices directement utilisables en classe. Pour cette raison, ils sont généralement classes par thèmes et non par niveau. La rédaction définitive des énoncés destinés à la classe reste à faire. Le texte proposé n'est qu'une trame que le professeur devrait adapter à son goût personnel, à celui de ses élèves, en fonction du moment où l'exercice est proposé, à la réaction des enfants devant des thèmes analogues, et surtout à l'objectif pédagogique visé dans ce cas précis: on ne rédige pas de la même façon un travail de contrôle exigé en temps limité, sans documents, et au contraire un travail libre que l'élève effectue à loisir. Il est alors hautement souhaitable qu'il se documente lui-même sur des notions volontairement imprécises. Le rédacteur de l'énoncé pourra choisir entre diverses formes à donner au texte. En particulier, certains problèmes pourront être présentés en plusieurs temps, espacés par des interruptions d'une semaine. D'autres énonces se groupent en batteries d'exercices : ce sont des séries de questions courtes dont l'intérêt pédagogique tient à leur assemblage et à leur progres- sion. Le choix des énonces retenus par le professeur dépend aussi, pour une large part, des programmes actuellement en vigueur. C'est ainsi que nous ne nous dissimulons pas que certains des chapitres de l'ouvrage présenté ici sont inexploitables dans leur totalité, avec les contraintes actuelles d'horaires et d'examens. Mais nos recherches visent plutôt à explorer de nouvelles possibilités d'enseignement. Nous rivons dune époque où les auteurs des programmes officiels proposeront en premier lien des activités mathématiques formatrices et choisiront ensuite les théories enseignées en fonction des problèmes que I'on pourra soumettre aux élèves. Alors on n'introduira plus gratuitement un jargon pédant et des théories qui ne seront plus utilisées. Les mots et les définitions s'inséreront d'eux-mêmes, au fur et à mesure des besoins réels Note texte est aussi conçu comme un instrument de formation des maîtres : le professeur pourra proposer un petit choix d'énoncés à sa classe et en résoudre lui-même beaucoup plus. Ce sera pour- lui l'occasion de motiver l'introduction des théories qu il expose. Et il arrivera souvent qu'à SOMMAIRE 9 l'occasion d'une explication difficile cru d'une question imprévue d'un élève, le maître, soit amené à exploiter inopinément un énoncé qu'il ne pensait pas soumettre au départ. C'est le moment de rappeler que le professeur doit savoir beaucoup de choses pour pouvoir en enseigner très peu. Il doit se sentir complètement libéré des difficultés mathématiques pour se consacrer entièrement aux difficultés, pédagogiques. Et en particulier la connaissance d une théorie abstraite n'est souhaitable que si l'on ait l'appliquer dans des situations variée. En préparant ces recueils nous nous sommes constamment heurtés à deux exigences contradictoires: d'une part, la plupart des énonces ne prennent leur- valeur qu'à la faveur des commentaires pédagogique, présen- tés en face du texte, et qui reposent souvent sur la connaissance de la solution. Mais d'antre part, nous semblons céder trop souvent à la tentation que nous dénonçons constamment: souffler prématurément la réponse et ne pas laisser au professeur le temps de chercher lui-même, chaque fois que cette recherche lui serait profitable. Car si l'on admet qu'un des buts de notre enseignement est d'apprendre à nos élèves à résoudre des problèmes, il est clair que le maître doit avoir une expérience vécue de l'aventure de recherche de la solution. N'hésitons pas à affirmer que certains problèmes ne peuvent pas être présentés valablement aux élèves par un professeur qui, ne l'ayant jamais cherché, ne peut pas se rendre compte de ce qu'il faut attendre de la part de celui qui cherche. Chaque fois que nous pensons que le risque de dévoiler prématurément la réponse est trop grand, nous renvo- yons le commentaire en appendice, sous un numéro entre double crochet, [[ ]]. (Le simple crochet [ ] renvoie à la bibliographie). Et lorsqu'il nous a paru souhaitable que le professeur "séchât" un mois ou deux et trouve lui-même la solution nous avons renvoyé la réponse à des références bibliographiques volontairement difficilement accessible. De toute façon l'équilibre entre le désir d'épargner certains efforts inutiles à des collègues surcharges de tâches et la nécessité de les inciter parfois à un effort éminemment formateur est malaisé à obtenir. Notre travail veut aussi réagir contre la routine qui s'installe si faci- lement dans L'enseignement. Certaines idées pédagogiques intéressantes au départ se stéréotypent rapidement, transmises de maîtres en maîtres, de manuels en manuels et les élèves sont encouragés à apprendre par cœur la solution de certains exercices "bien connus" pour réussir à leurs examens ! Nous ne sous-estimons pas le danger de voir nos propres innovations donner lien, en peu de temps, à d'autres stéréotypes. SOMMAIRE 10 Pour retarder ce fâcheux phénomène de vieillissement wons nous pro- posons de rassembler délibérément, sur chaque sujet traité, une quantité de documents qui dépasse de beaucoup les possibilités d'utilisation d'un maître ou d'un interrogateur. Si chacun résiste à la tentation des reprendre tous les ans les mêmes exercices, dans le mime ordre, dans les mêmes classes ou aux mêmes examens. On évitera dans une certaine mesure la sclérose redoutée. Classification des énoncés Aux diverses activités de I'élève et du professeur correspondent des énoncés dont la finalité est différente. Nous en distinguerons sept catégories, sans nous dissimuler que cette classification n'est ni exhaustive, ni non- disjonctive. Cependant le tableau suivant nous semble fondamental: Sigl e Catégorie d'énoncés Comportement de l'élève Comportement du professeur EE: Exercices , d'exposition. Apprendre Acquérir des connaissances Exposer incomplètement Transmettre des P Problèmes. Chercher. "trouver." Susciter la curiosité. Encourager la persévérance dans la recherche ED Exercices didactiques. S'entraîner. Acquérir des mécanismes Fixer des connaissances, des aptitudes, des habitudes. ET T Exécution de tâches techniques. Prendre ses responsabilités, Mener un travail à bonne fin en prenant l'engagement de ne pas laisser subsister d'erreurs. Inciter a la minutie: au soin. Exiger un "travail bien fait. A Exemples d'illustration. Exercices d'application. Transférer des cconnaissances théoriques dans un contexte pratique. Rattacher l'abstrait a d autres centre. d intérêt.. M Mamipulations. Observer. Expérimenter. Bricoler. Motiver Ies résultats d'une étude abstraite ultérieure. T Tests. Sujets de compositions. d examens, de concours.' Vérifier la valeur de ses connaissances Faire valoir ses aptitudes. Contrôler les résultats de l'enseignement sur chaque élève. Chacune de ces catégories, relève d'une pédagogie différente. Les énon- cés correspondants se rédigent conformément à des principes variés, parfois opposés. SOMMAIRE 11 Un énoncé est généralement composé sur un thème. Mais de même qu'un motif musical peut se présenter, au choix, sous la forme d'une java ou d'une marche funèbre, de même mue idée mathématique peut fournir des exercices dont la finalité est tout à fait différente. Le professeur doit être entraîné à transposer tin énoncé d'une catégorie à utile autre. Il est temps de formuler les principes généraux d'une pédagogie de l'exercice uploads/Industriel/ pedagogie-de-l-x27-exercice-et-du-probleme.pdf