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PSY 1004 Techniques d’analyses en psychologie Cours 3. Probabilités 1 Cours 3 :

PSY 1004 Techniques d’analyses en psychologie Cours 3. Probabilités 1 Cours 3 : Probabilités Table des matières Section 1. La roulette russe : problème empirique?.......................................................................... 3 Section 2. Rôle de la probabilité en statistiques inductives ............................................................. 3 Section 3. La distribution binomiale.................................................................................................... 4 3.1. Calculer la probabilité d’un nombre de succès r.......................................................... 4 3.2. Paramètres et fonction de masse..................................................................................... 5 3.3. Calcul des moments statistiques..................................................................................... 6 a. Calcul de la moyenne d’une variable aléatoire de type binomial ........................... 6 b. Calcul de la variance d’une variable aléatoire binomiale......................................... 7 c. Autres moments statistiques......................................................................................... 8 Section 4. La distribution normale....................................................................................................... 8 4.1. Fonction de masse et paramètres.................................................................................... 8 4.2. Probabilité d’un événement normalement distribué................................................. 10 4.3. Pourquoi la normale? ..................................................................................................... 11 a. Approximation de la distribution binomiale............................................................ 11 b. Plusieurs sources d’erreurs ......................................................................................... 12 Z Transformation linéaire .................................................................................................................. 13 4.4. Distribution normale standardisée............................................................................... 15 Section 5. La distribution de Weibull................................................................................................ 16 5.1. Fonction de masse et paramètres.................................................................................. 17 5.2. Moments statistiques...................................................................................................... 17 Section 6. La distribution χ2................................................................................................................ 18 6.1. Fonction de masse et paramètre ................................................................................... 18 6.2. Moments statistiques...................................................................................................... 19 Section 7. La distribution de Fisher F................................................................................................ 19 7.1. Fonction de masse et paramètre ................................................................................... 20 7.2. Moments statistiques...................................................................................................... 20 [ Comment lire une table statistique ............................................................................................... 20 PSY 1004 Techniques d’analyses en psychologie Cours 3. Probabilités 2 Section 8. Conclusion........................................................................................................................... 22 Exercices ....................................................................................................................................... 23 Lectures Suggérée : Howell, chapitre 2, 2.14, chapitre 3, 3.1 à 3.3, chapitre 5, 5.1 à 5.7 inclusivement. Objectifs Connaître les postulats sous jacents aux distributions binomiale, normale, χ 2 et de Fisher. Connaître la moyenne de ces distributions. Pouvoir normaliser des données et les dénormaliser. Être en mesure de lire une table statistique de ces distributions. PSY 1004 Techniques d’analyses en psychologie Cours 3. Probabilités 3 Section 1. La roulette russe : problème empirique? La probabilité est apparue dans les années 1600, époque où les jeux de hasard étaient très prisés. Avant de faire un pari, l'aristocrate moyen voulait connaître ses chances de gagner. Or, ils ne connaissaient d'autres moyens de faire ce calcul que de jouer le jeu un grand nombre de fois avec un serviteur de confiance. La probabilité de gagner devient: jouée partie de Nbre gain de Nbre Gain ) Pr( = (Vous comprendrez que cette méthode n'était guère utile au jeu de la roulette russe). Pour contrer cette stratégie for simple, certains joueurs inventèrent des jeux plus complexes, souvent basé sur une séquence. Pour évaluer leur chance, certains aristocrates n'eurent d'autres recours que d'aller consulter les plus grands mathématiciens de leurs temps (les Bernoulli, Pascal, Fermat, etc.). Ces derniers firent bien plus qu'évaluer les chances de gain, ils établirent les probabilités de voir tel ou tel événement se produire dans une situation donnée très générale. Nous examinons quelques-unes de ces distributions de probabilité dans la suite. Section 2. Rôle de la probabilité en statistiques inductives La probabilité est la branche des mathématiques qui s’occupe des populations. Étant donnés quelques postulats simples, peut-on savoir comment les scores de la population entière seront répartis. Idéalement, on souhaite avoir le moins de postulats possibles (dans le but d’une plus grande généralité). On peut voir les probabilités comme une grosse expérience de pensé : Peut-on, par la seule logique, prédire le résultat d’une « expérience ». Par exemple, imaginons qu’une « expérience » consiste à lancer 10 fois une pièce de monnaie. Peut-on prédire d’obtenir 8 fois pile? Sans les mathématiques, nous sommes contraint de nous fier à notre intuition, à notre expérience. Dans ce cas-ci, notre intuition suggère que c’est sans doute très rare. Or, les mathématiciens (Bernoulli le premier) peuvent nous dire la probabilité exacte que cela se produise sans même avoir jamais lancé une pièce de monnaie de leur vie. Le résultat, nous le verrons à la section 3, est d’un peu moins de 5%. La démarche des probabilités consiste toujours par poser des postulats : « Et si… » et de voir quelles conséquences on peut en tirer. Par exemple, « Et si je connaissais la probabilité d’un pile lors d’un lancé unique, pourrais-je en déduire la probabilité d’obtenir r piles sur n lancés? ». Comme les postulats sont souvent généraux, les conséquences trouvées peuvent aussi servir dans d’autres situations. Par exemple, la question « Si j’ai 10 enfants, quel est la probabilité d’en avoir 8 avec les yeux bleus? » nécessite exactement le même raisonnement mathématique que celui avec les pièces de monnaie pour être résolue. L’idée générale d’introduire les probabilités en statistiques sera plus claire au cours suivant sur la statistique inductive, dans laquelle l’on souhaite déduire des informations sur une population à partir d’informations sur un échantillon. PSY 1004 Techniques d’analyses en psychologie Cours 3. Probabilités 4 Section 3. La distribution binomiale La distribution la plus simple est celle qui décrit des événements n’ayant que deux possibilités. Par exemple, une pièce de monnaie est lancée, et le résultat peut être pile ou face. Ou encore, un individu est choisi au hasard et son sexe est noté. Le résultat peut être Homme ou Femme. Dans l’industrie, une machine peut fonctionner ou être en panne, etc. Un essai où seulement deux cas sont possibles est parfois appelé un essai de Bernoulli, en l’honneur du mathématicien qui le premier a travaillé ce genre de problème au cours des années 1700. En général, l’un des deux résultats est appelé de façon arbitraire un « succès » et l’autre un « échec ». Pour simplifier, notons p la probabilité d’un succès, Pr{S}. Il s’ensuit que 1 - p est la probabilité d’un échec, Pr{E} (souvent, les auteurs notent 1 – p en utilisant la lettre q). Dans le cas d’une pièce de monnaie non truquée, p = ½. Dans le cas de la machinerie, l’entrepreneur souhaite que p soit le plus élevé possible. 3.1. Calculer la probabilité d’un nombre de succès r. Dans un essai de Bernoulli, chaque essai est indépendant des essais précédents. Il découle alors que la probabilité est simplement multiplicative Par exemple, la probabilité de deux succès est Pr{S, S} : Pr{S, S} = Pr{S} × Pr{S} = p × p = p2. Ainsi, Pr{S, S, E, S, E, E} = p ×p × (1-p) × p × (1-p) × (1-p) = p3 (1-p)3. Notez qu’en fait, l’ordre dans lequel les résultats sont obtenus n’est pas important puisqu’ils sont indépendants. Si, au lieu d’être intéressé dans le résultat d’un seul évènement, nous souhaitons quantifier le nombre total de succès, par exemple, le nombre de machines défectueuses dans une usine, nous devons tenir compte du nombre de façons possibles d’obtenir ce résultat donné. Par exemple, au cours d’une joute où on lance cinq fois une pièce de monnaie, on veut savoir la probabilité d’obtenir 3 piles (P). On peut obtenir ce résultat de l’une ou l’autre de ces façons : {P, P, P, F, F} {P, P, F, P, F} {P, P, F, F, P} {P, F, P, P, F} {P, F, P, F, P} {P, F, F, P, P} {F, P, P, P, F} {F, P, P, F, P} {F, P, F, P, P} {F, F, P, P, P} soit 10 façons différentes d’obtenir 3 piles parmi 5 lancés. La probabilité d’obtenir le premier résultat est de p3 (1 - p)2. De même la probabilité d’obtenir la seconde configuration, etc. Donc, la probabilité d’obtenir un total de 3 piles parmi 5 lancers, peu importe l’ordre, est de 10 p3 (1 - p)2. De façon générale, il faut toujours multiplier la probabilité d’une configuration par le nombre de façons de l’obtenir. Pour cette raison, on utilise l’opérateur ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ r n qui indique le nombre de combinaisons possibles de r parmi n événements binaires. On calcule ce nombre avec la formule )! ( ! ! r n r n r n − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ . PSY 1004 Techniques d’analyses en psychologie Cours 3. Probabilités 5 Quand une variable est le résultat d’un événement aléatoire du genre d’un essai de Bernoulli, on dit que X reflète une distribution binomiale. Pour simplifier, on peut écrire plus densément qu’une variable aléatoire X est le nombre de succès obtenus dans une suite de n essais de Bernoulli, au cours desquels la probabilité d’un succès est p à l’aide de la notation: X ~ B(n, p). Dans ce cas, la probabilité d’avoir r succès au cours de n essais, Pr{ Xi = r succès} est donné par r n r p p r n r f − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ) 1 ( ) ( X 3.2. Paramètres et fonction de masse Ce que l’on doit retenir de ce qui précède est que si l’on a des postulats simples sur une population (ici des événements binaires, chacun avec une probabilité p et 1 – p) alors il est possible d’obtenir la probabilité pour chaque observation possible (obtenir 0 succès : f (0), obtenir 1 succès : f (1), etc.). Cependant, en plus de ces postulats sur uploads/Industriel/ psy1004-03-pdf.pdf