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ESI : PRST1-2CP Série d’exercices n°6 Exercice1 : Un restaurant possède 50 plac

ESI : PRST1-2CP Série d’exercices n°6 Exercice1 : Un restaurant possède 50 places. La probabilité qu’une personne, ayant résevé, ne vienne pas est de 20%. Un jour, le patron a pris 52 réservations. Quelle est la probabilité pour qu’il se trouve dans une situation embarrassante? Exercice2 : Une boite contient trois types de transistors, que l’on désigne par A , B et C . Le transistor A a été fabriqué par une machine qui produit 3% de défectueux, le transistor B par une machine qui produit 5% de défectueux, et le transistor C par une machine qui produit 7% de défectueux. Dix transistors sont pris, au hasard et avec remise. Soit N le nombre de transistors défectueux obtenus. 1. Calculer ) 0 (  N . 2. Quelle est la loi de probabilité de N . Justifier et donner ses paramètres. 3. Soit la variable aléatoire ) 1 (  N N . ( N sachant que N est inférieure ou égale à 1) - Quelle est la loi de probabilité de ) 1 (  N N . Justifier et donner ses paramètres. - Calculer son espérance mathématique. Exercice3 : Une entreprise fabriquant des composants électroniques. 1) Un composant électronique contient n circuits intégrés indépendants, il sera considéré défectueux si l’un de ses circuits intégré est défectueux. La probabilité pour qu’un circuit intégré soit défectueux est de 0,01 . Quel est le nombre maximum de circuits intégrés peut contenir un composant électronique de façon que la probabilité de fabriquer un composant électronique défectueux reste inférieure à 10% ? 2) On a constaté que 98% des composants ont une durée de vie supérieure à 5 ans. On considère un lot de 150 composants. En considérant la variable aléatoireY : « nombre de composants de durée de vie inférieure à 5 ans » a) Quelle est la loi de probabilité de Y ? Par quelle loi de probabilité peut-on approximer la loi de probabilité de Y ? Justifier ? b) Calculer la probabilité que tous les composants aient une durée de vie supérieure à 5 ans. c) Calculer la probabilité d’avoir 145 composants de durée de vie supérieure à 5 ans. Exercice4 : Une famille de dauphins est composée de 6 femelles et 4 mâles. On choisit au hasard dans cette famille un groupe de 4 dauphins. Soit Y la v.a. représentant le nombre de femelles que l’on peut observer dans ce groupe. Déterminer sa loi de probabilité, son mode, son espérance et sa variance. Exercice5 : Un jeu de roulette comporte 38 cases, 18 noires, 18 rouges et 2 vertes. Une bille lancée sur la roulette termine toujours sa course dans une des cases. Pour des essais indépendants entre eux, sur une roulette bien équilibrée, soit X le nombre de lancers nécessaires pour obtenir une case verte. i) Déterminer la loi de probabilité de X , donner son espérance et sa variance. ii) Quelle est la probabilité qu’il faille au moins quatre essais pour obtenir une case verte ? iii) Quelle est la probabilité que l’obtention d’une première case verte se produise sur un nombre impair de lancers ? P1 Exercice6 : Soit * IN a  . Soit X une v.a. à valeurs entières sur   a n a  ,..., dont la loi est : p q et p o n q p a k k n k k n X c          1 1 , 1 , . . ) ( a) Déterminer l’espérance et la variance de X . b) Supposer 4 2 1 , 8    a et p n . Soit Y la v.a. prenant la valeur 1 si 2  X et la valeur 0 sinon Trouver la loi de probabilité, l’espérance et la variance deY . Exercice7 : Un bureau de poste dispose de deux guichets : le premier est réservé au courrier, le second aux services bancaires. Pour un intervalle de temps ] , [ 2 1 t t donné, on note 1 X et 2 X les v.a.r représentant le nombre de clients se présentant indépendamment à l’un ou l’autre des deux guichets. a. Quelles lois usuelles peut-on supposer que 1 X et 2 X suivent ? b. Soit Z la v.a.r. représentant le nombre de clients durant l’intervalle ] , [ 2 1 t t . Donner la loi de probabilité de Z . c. Quelle est la loi de probabilité du nombre de clients se présentant au premier guichet sachant qu’il y a N clients dans le bureau de poste ? d. Quel résultat théorique peut-on déduire de la question (c). e. Reprendre les questions précédentes avec 1 X et 2 X suivent respectivement les lois binomiales ) , ( 1 p n  et ) , ( 2 p n  . Exercice8 : X une v.a.c. de loi ] 1 , 0 [ U , aetb deux réels avec b a  . Quelle est la loi de la v.a. a X a b Y    ) ( ? Exercice9 : Soit X une v.a. continue définie sur IR dont la fonction de répartition F est strictement croissante et continûment dérivable sur IR . prouver que la v.a. ) (X F Y  suit la loi ) 1 , 0 ( U . Exercice10 : 1) La fonction « gamma » associé à tout réel r strictement positif, l’intégrale absolument convergente       0 1. ) ( dx e x r x r . vérifier que :                   )! 1 ( ) ( , ) ( . ) 1 ( , 0 1 ) 1 ( * n n IN n a a a a . 2) Une v.a.continue X suit la loi khi-deux à n degrés de liberté et on note ) ( 2 n X   si elle admet pour densité de probabilité la fonction f définie par :  ) ( . . . ) ( * 2 2 2 1 2 2 1 x I e x f IR x x n n      Calculer ) (X E et ) (X E . Exercice11 : Soit X etY deux v.a. indépandantes de lois respectivement ) , (  a  et ) , (  b  . a) Montrer que Y X  et Y X X  sont indépendantes et calculer leurs lois de probabilités. b) En déduire que ) ( ) ( ). ( ) 1 ( 1 0 1 1 b a b a dx x x b a          qu’on note par ) , ( b a B . Définition : La loi de probabilité Y X X  telle que X etY deux v.a. indépandantes de lois respectivement ) , (  a  et ) , (  b  définie par la densité de probabilité trouvée en (a) est dite la loi béta (première espèce) de paramètres a etb sur [ 1 , 0 ] . On écrit ) , ( b a Y X X    de première espèce. P2 La densité de probabilité de la v.a Y X (un autre cas d’application du théorème de changement de variales)définit la loi béta (deuxième espèce) de paramètres a etb sur  IR . c) En déduire la loi de  n i i X 1 si 1 X , 2 X , … , n X i.i.d. Exponentielle de paramètre. d) Connaissant la fonction génératrice de la loi exponentielle, déduire la fonction génératrice de  n i i X 1 , ainsi que son espérance et sa variance. Exercice12 : a) ) , (  p X   , montrer que ) 1 , ( . p X Y    qu’on note ) ( p  . b) Soit Z une v.a. de loi ) 1 ; 0 ( N , montrer que ) , ( 2 1 2 1 2   Z et en déduire la valeur de ) ( 2 1  . c) On sait par définition que si 1 Z , 2 Z , … , n Z i.i.d. ) 1 ; 0 ( N , ) ( 2 1 2 n Z T n i i     .  Déduire de (b) et (c) que ) , ( ) ( 2 1 2 2 n n    .  Déduire sa fonction de densité, saon espérance et sa variance. Exercice13 : 1) Connaissant la fonction génératrice Z G telle que ) 1 ; 0 ( N Z  , déduire X G , ). ; (   N X  2) On suppose que les versements mensuels des jeunes dans une agence bancaire suivent une loi de probabilité donnée par uploads/Industriel/ serie-loi-usuel.pdf