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FUPA Année académique 2019/2020 TD1 Analyse des Données de Séries Temporelles M

FUPA Année académique 2019/2020 TD1 Analyse des Données de Séries Temporelles Master 1 Economie/Gestion Prof. Gbakou Monnet B.P, Maître de conférences agrégé Questions à choix multiple (QCM) 1) Soit la série temporelle {xt}t=1 T , l’autocorrélation au retard 1 dans un échantillon, où ¯ x=(∑ t=1 T xt)/T , est comme suit a) ^ ρ1=(∑ t=1 T (xt−¯ x)( xt−1−¯ x))/∑ t=1 T (xt−¯ x) 2 b) ^ ρ1 est une estimation convergente de ρ1 si {xt}t=1 T est i.i.d c) ^ ρ1 est une estimation convergente de ρ1 si {xt}t=1 T est i.i.d et E (xt)<∞ d) Rien de tout ce qui précède 2) Soit la série temporelle linéaire {xt}t=1 T qui s’écrit xt=μ+∑ i=0 ∞ φiat−i , où φ0=1 et {at} est une série bruit blanc de moyenne nulle i.i.d ; at est une variable aléatoire continue. a) μ est l’espérance mathématique de xt ; b) la variance de xt est donnée par σ a 2∑ i=0 ∞ φi 2 ; c) la variance de xt est donnée par σ a 2(1+∑ i=1 ∞ φi 2) ; d) la variance de xt est donnée par σ a 2(1+∑ i=1 ∞ φi) ; e. Rien de out ce qui précède var(xt)=E(xt-E(xt))2=E(xt-mu)2= E((at +phi1*at-1+phi2*at-2+….)2) =E(at2)+phi1carre*E(at-1 au carre) +phi2 carre*E(at-2 carre) +….. Car E(at-i*at-j)=0 , pour I different de j puisque at est un bruit blanc Var(xt)= σ a 2 +phi1carre* σ a 2 +phi2carre* σ a 2 +….= σ a 2 (1+phicarre+phi2carre+…) 3) Pour un processus AR, avec la série {at} un processus bruit blanc a) ^ yt=8−6 yt−1−4 yt−2+ ^ at , est un processus AR(2) non stationnaire b) ^ yt=5−9 yt−1−15 yt−2+ ^ at est un processus AR(2) non stationnaire c) ^ yt=12−2,5 yt−1−2 yt−2+ ^ at est un processus AR(2) non stationnaire d) rien de tout ce qui précède c) equation carcaterisitque : 2*x carre+2,5x+1 =0 discriminant = 2,5 carre -4*2*1 =-1,75 =1,75i2 où i2 =-1 x1= (-2,5-i racine carre1,75)/(2*2)=-0,625-0,3307i 21= (-2,5+i racine carre1,75)/(2*2) =-0,625+0,3307i Le module de x1 = racine carre ((-0,625)2+(0,3307)2)=0,7070 L’inverse de la solution en module est superieure a 1, donc le processus est non stationnaire. b) equation caracteristique : 15* x carre +9x+1 = 0 discriminant =81-4*15 =21 x1=(-9-racine carre 21)/30 = -0,452 x2=(-9+racine carre 21)/30 =-0,1472 operateur retard L, Lxt= xt-1, Lpuisssance p de xt = xt-p yt+6Lyt+4Lcarre yt=8+at (1+6L+4Lcarre)yt=8+at L’equation caracteristique : 4xccarre +6x+1=0 Nous avons une equation de second degre. Le discriminant est : 6 carre-4*4*1=36-16 =20 Les solutions sont : x1= (-6-racine carre 20)/(4*2) =-1,3090 x2= (-6+racine carre 20)/(4*2)=-0,19098 comme la valeur absolue de l’inverse de x2 est superieure a 1, ALORS le processus yt n’est pas stationnnaire 4) Un économiste a effectué une régression (sur le logiciel Stata) dont les résultats sont présentés ci-dessous. L’équation estimée est celle des investissements directs étrangers de la Tunisie de 1971 à 2005. ARIMA regression Sample: 1971 - 2005 Number of obs = 35 Wald chi2(2) = 6.97 Log likelihood = -47.53571 Prob > chi2 = 0.0306 ------------------------------------------------------------------------------ | OPG fdi | Coef. Std. Err. z P>|z| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- fdi | _cons | 1.97836 .3952918 5.00 0.000 1.203603 2.753118 -------------+---------------------------------------------------------------- ARMA | ar | L1. | .451692 .1826156 2.47 0.013 .0937721 .8096119 L2. | -.0269282 .157776 -0.17 0.864 -.3361634 .282307 -------------+---------------------------------------------------------------- /sigma | .9381264 .2088164 4.49 0.000 .5288537 1.347399 ------------------------------------------------------------------------------ Note: The test of the variance against zero is one sided, and the two-sided confidence interval is truncated at zero. fdi(t)= 1.97836+0.451692 fdi(t-1)-0.0269282fdi(t-2)+a(t) Equation caracteristique : fdi(t)-0.451692 Lfdi(t)+0.0269282 L2fdi(t)= 1.97836+a(t) (1-0.451692L+0.0269282 L2)fdi(t) = 1.97836+a(t) Equation caracteristique est 1-0.451692x+0.0269282x2=0 Discriminant = (-0.451692)2 -4*0.0269282*1 =0,0963128 X1=(0.451692-racine carre(0,0963128))/(2*0.0269282) =2,6235 X2=(0.451692+racine carre(0,0963128))/(2*0.0269282) = 14,1493 Les inverses des solutions sont toutes inferieures a 1 en valeur absolue, par conséquent, le processus AR(2) est stationnaire. ----------------------------------------------------------------------------- Model | Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC -------------+--------------------------------------------------------------- . | 35 . -47.53571 4 103.0714 109.2928 ----------------------------------------------------------------------------- Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note Une autre spécification du modèle, en rajoutant fdit-3 parmi les regresseurs, a donné les résultats suivants : ----------------------------------------------------------------------------- Model | Obs ll(null) ll(model) df AIC BIC -------------+--------------------------------------------------------------- . | 35 . -46.21083 5 102.4217 110.1984 ----------------------------------------------------------------------------- Note: N=Obs used in calculating BIC; see [R] BIC note a) le modèle estimée est un modèle AR b) le modèle est globalement non significatif c) l’ordre de la partie AR du modèle est de 2 selon le BIC d) nous sommes en présence d’un processus non stationnaire e) les investissements directs étrangers à t ne dépendent pas de leurs valeurs à (t-1). f) rien de ce qui précède deltayt=(b-1)*yt-1+q1*deltayt-1+…qp*deltayt-p+et deltayt=alpha+(b-1)*yt-1+ q1*deltayt-1+…qp*deltayt-p +et deltayt= alpha+gamma*t+(b-1)*yt-1+ q1*deltayt-1+…qp*deltayt-p + et t= b chapeau/ecart-type estime de b chapeau H0 : b=1 ,presence de racine unitaire (non stationnaire) contre H1 absence de racine unitaire (stationnaaire) regle de decision : tcal> tlu, on ne peut rejeter Ho, la serie est non stationnaire tcal<tlu, on rjette Ho, la serie est stationnaire Ho : b-1=bc=0 ( non stationnaire contre H1 b-1=bc different de zero (stationnaire) 5) un économiste a effectué le test de Dickey-Fuller augmenté sur la variable gdppreal. Il obtient les résultats suivants : Augmented Dickey-Fuller test for unit root Number of obs = 31 ---------- Interpolated Dickey-Fuller --------- Test 1% Critical 5% Critical 10% Critical Statistic Value Value Value ------------------------------------------------------------------------------ Z(t) -3.709 -2.983 -2.623 ------------------------------------------------------------------------------ MacKinnon approximate p-value for Z(t) = pvalue associe a zt Pvalue > 5%, on ne peut rejetter H0, la serie est non stationnaire Pvalue <5% on rejette H0, la serie est stationnaire , ------------------------------------------------------------------------------ D.gdpreal | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- gdpreal | L1. | -.0592048 .0293436 0.054 -.1195214 .0011117 LD. | .2564219 .1636545 0.129 -.0799749 .5928186 L2D. | -.2379318 .1332905 0.086 -.5119144 .0360509 L3D. | .2181647 .1082777 0.054 -.0044032 .4407327 _cons | .6298415 .4812424 0.202 -.3593664 1.619049 ------------------------------------------------------------------------------ D.gdpreal= (gdpreal_t-gdpreal_t-1) =deltagdpreal_t deltagdpreal_t =bc*gdpreal_t-1+q1*(gdpreal_t-1 –gdpreal_t-2)+q2*( gdpreal_t-2 - gdpreal_t-3)+q3*( gdpreal_t-3 - gdpreal_t-4) + constante+et std.err = standard error = ecart-type estimé t= coeff/std.err t=-0,0592048/0,0293436=-2,017639 > t_lu=t_5% = -2,983 on ne peut rejeter H0, la variable gdpreal (le pib réel) est donc non stationnaire à niveau. Nous devons alors aller faire le test de sa difference premiere afin de trouver l’ordre d’integration de la serie gdpreal. NB : certains résultats ont été volontairement omis. a) dans l’équation de régression du test, on a parmi les regresseurs (gdprealt−3−gdprealt−4) et non pas Δ3gdprealt b) la variable gdpreal est stationnaire à niveau c) la variable gdpreal est stationnaire en différence première d) rien de tout ce qui précède 6) Les conditions de stabilité d’un modèle VAR(P) exige que a) les valeurs propres de la matrice compagnon soient toutes supérieures à 1 en valeur absolue b) la trace de la matrice de compagnon doit être inferieure à 1 c) la matrice compagnon est non singulière d) rien de ce qui précède var(1) avec trois variables x_t, y_t, z_t x_t =phi01 +phi11*x_t-1+phi21*y_t-1 +phi31*z_t-1 +e1_t y_t =phi02 +phi12*x_t-1+phi22*y_t-1 +phi32*z_t-1 +e2_t z_t =phi03 +phi13*x_t-1+phi23*y_t-1 +phi33*z_t-1 +e3_t le model modele est-il stable (stionnaire) ? oui si les valeurs propres de la matrice compagnon sont toutes inferieures a 1 en module (valeur absolue). Serie DS (difference stationary) 7) Soit le processus suivant : opennesst=θ+ opennesst−1+ε t , où {εt} est un bruit blanc et θ est un paramètre, alors a) la série temporelle {opennesst} est non stationnaire b) la série temporelle a une tendance stochastique c) la stationnarité de {εt} garantit celle de {opennesst} d) rien de tout ce qui précède 8) Est-il vrai de dire que : a) Δ3 xt=xt−3xt−1+3 xt−2−xt−3 ʌ3x_t = ʌ(ʌ (ʌx_t))= ʌ(ʌ(x_t-x_t-1))= ʌ(ʌx_t - ʌx_t-1)= ʌ(xt-xt-1-x_t-1+x_t-2) = ʌ(x_t-2x_t-1+x_t-2)= ʌx_t-2 ʌx_t-1+ ʌx_t-2 =x_t-x_t-1 – 2*(x_t-1-x_t-2)+(x_t-2 – x_t-3) = x_t-3*x_t-1 +3*x_t-2 – x_t-3 b) Δ4 xt=xt−4 xt−1+6 xt−2−4 xt−3+ xt−4 ʌ (ʌ3x_t)= ʌ( x_t-3*x_t-1 +3*x_t-2 – x_t-3) = x_t-x_t-1 – 3*(x_t-1 –x_t-2) +3*(x_t-2 – x_t-3) –(x_t-3 –x_t-4) = x_t – 4*x_t-1 +6*x_t-2 -4*x_t-3 +x_t-4 c) Δ 3 xt=xt+3 xt−1−3 xt−2−xt−3 d. rien de ce qui précède 9) Quand une série temporelle est intégrée d’ordre 2, a) toute différentiation de celle-ci la rendra nécessairement stationnaire en différence b) Il est possible de la modéliser comme un processus ARIMA(p, q, 2) arima(p,2,q) c) Il n’est pas possible de la modéliser d) rien de tout ce qui précède 10) En ce qui concerne la modélisation VAR, a) l’ordre du VAR est donné par le nombre de variables endogènes dans le modèle b) Le critère de Hannan-Quinn est l’un des critères permettant de déterminer l’ordre du VAR Ratio de vraisemblance (LR) et final prediction error (FTE) c) Il est possible de réécrire un VAR(p) comme un VAR(1) en utilisant la matrice compagnon d) rien de tout ce qui précède. 11) Quel est l’ordre du VAR ? LR = 2*(log vraisemblance au retard t-log vraisemblance retard t-1) LR a une distribution khi-deux a m degres de liberte, où m est le nombre de parametres dans le VAR, m ne prend pas en compte les termes constamts. Selection-order criteria Sample: 2011m3 - 2015m12 Number of obs = 58 +---------------------------------------------------------------------------+ |lag | LL LR df p FPE AIC HQIC SBIC | |----+----------------------------------------------------------------------| | 0 | -3712.13 8.7e+51 uploads/Industriel/ td-adst-m1-2020.pdf